3.2. Tensor Algebra

• The chapter number is not "1", but the point that starts from chapter 3.2 is the cross-reference to the Equation number in my document, so if the Chapter number is changed, the Equation number must be corrected, so the chapter number is maintained
• This chapter is based on Ray D’inverno's “Introduction of Einstein's Relativity”.
• Since it cannot translate all into English, it contains a lot of Korean.

3.2.1.  Transformation of coordinates (좌표 변환)

Tensor는 하나의 좌표계(coordinate system)에서만 유효한 것이 아니라, 모든 좌표계 (All Coordinate systems)에서 유효한 것이 핵심적 요소이다. 따라서, 한 좌표계에서 다른 좌표 계로 이동할 때 물리량들(quantities)이 어떻게 변화하는지를 기술하는 것이 Tensor의 목표라고 할 수 있다.

■  좌표계의 변화(change of coordinates)인 \({x^a} \to {x^{{\rm{'}}a}}\)는 다은과 같이 n개 방정식이 주어진다.

○\({x^{{\rm{'}}a}} = {f^a}\left( {{x^1},{x^2}, \ldots ,{x^{\rm{n}}}} \right) = {f^a}\left( x \right)\;\;\left( {a = 1,2,3, \ldots ,n} \right)\)

♦ \(f\) : single-valued continuous differentiable function

○ 위 식을 \({x^{{\rm{'}}a}} = {x^{'a}}\left( x \right)\;\;\)로 단순하게 표현

○ \({x^{{\rm{'}}a}} = {f^a}\left( {{x^1},{x^2}, \ldots ,{x^{\rm{n}}}} \right) = {f^a}\left( x \right) = {x^{'a}}\left( x \right)\;\;\left( {a = 1,2,3, \ldots ,n} \right){\rm{\;\;\;\;\;\;\;}}\left( {3.2.1.1} \right)\)

■  \({x^{{\rm{'}}a}}\)의 좌표 \({x^b}\) 에 대한 미분\(\left( { = \frac{{{x^{{\rm{'}}a}}}}{{{x^b}}}} \right)\)

○ x'a=J∙xb ⇒ J=x'axb=x'1x1 x'1x2⋯x'1xn⋮ ⋱⋮x'nx1 x'nx2⋯x'nxn = Jacobian Matrix=transformation matrix (3.2.1.2)

♦ J=x'axb=Jacobian (3.2.1.3) 이면, J 의 역행렬이 존재

♦ J-1=xbx'a

■  3차원에서 표면(Surface)의 방정식 \(z = f\left( {x,y} \right)\)라고 하자

○ 전미분( Total differential) 하면, \({\rm{d}}z = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}dy\)

○ 이와 같이 \({x^{{\rm{'}}a}} = {x^{'a}}\left( x \right)\) 를 전미분하면,

♦ \({\rm{d}}{x^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^1}}}d{x^1} + \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^2}}}d{x^2} + \cdots + \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{n}}}}}d{x^{\rm{n}}}\)

♦ \({\rm{d}}{x^{{\rm{'}}a}} = \mathop \sum \limits_{{\rm{b}} = 1}^{\rm{n}} \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}d{x^{\rm{b}}}{\rm{\;\;\;\;\;\;\;}}\left( {3.2.1.5} \right)\)

♦ Einstein은 이를 더 간단하게 표기하였으며, 이를 Einstein Summation Convention이라고 하며 \({\rm{d}}{x^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}d{x^{\rm{b}}}{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\;\;}}\left( {3.2.1.6} \right)\)

♦ \(a\) : Free index , \({\rm{b}}\) : bound index 혹은 dummy index

♦ Dummy Index는 Einstein Summation Convention에서 합산되는 Index이다.

∑b=1n∂x'a∂xbdxb→Einstein Summation Convention : ∂x'a∂xbdxb (3.2.1.7)

♦ \({\rm{b}}\)는 다른 좌표가 되므로 이미 사용한 Index외에 다른 index로 대체(index exchange)가 가능하므로 dummy라고도 함. 중요한 것은 앞에서 설명한 바와 같이 모든 좌표계에서 물리량이 어떻게 변하는지를 기술하기 위한 것이 목적(정확하게는 불변)이므로 dummy는 이를 수학적으로 표현되는 index이며 Dummy Index은 index exchange에 많이 활용됨을 알 수 있다.

3.2.2.  Covariant Tensor(공변 텐서) 와 Contravariant Tensor(반변 텐서)

■  구좌표계(Old Coordinate System, \(\beta \))에서 임의의 Vector(\({\rm{arbitrary\;vector\;A}}\))가 신좌표계 (New Coordinate System, \(\mu \))에서 표현되는 방식

○Basis Vector \({e_\beta } = \frac{\partial }{{\partial {x^\beta }}}\)를 도입하면, 구좌표계의 임의의 Vector A는

A∙eβ=A∂∂xβ=A∂xμ∂xβ∂∂xμ=Aμ∙eμ

♦ \(\frac{\partial }{{\partial {x^\mu }}}\) : 신좌표계의 기저 벡터

○\({\rm{A}}\frac{{\partial {x^\mu }}}{{\partial {x^\beta }}} = {{\rm{A}}^\mu }\)이므로 \(\frac{{\partial {x^\mu }}}{{\partial {x^\beta }}}\) 는 임의의 vector A가 신좌표계에서 표현되는 방식(\({{\rm{A}}^\mu }\))으로 변환해 주는 요소가되며 이와 같은 형태로 변환되는 벡터(혹은 텐서)를 반변 벡터(Contravariant vector) 혹은 반변 텐서(Contravariant Tensor)라고 한다 manifold위에 매우 가까이 있는 두 점 P와 Q(two neighbouring points in the manifold P and Q)를 생각해 보자! 두 점의 좌표는 각각 \({x^a}\)와 \({x^a} + d{x^a}\)이다. 두 점은 Infinitesimal displacement or infinitesimal vector \(\overrightarrow {PQ} \)를 정의할 수 있고 \(\overrightarrow {PQ} \)는 P 점에서 시작하는 것으로 하자!

○\(d{x^a}\) : \({x^a}\)-coordinate system에서 \(\overrightarrow {PQ} \)의 성분

○\(dx{'^a}\) : \(x{'^a}\)-coordinate system에서 \(\overrightarrow {PQ} \)의 성분

○이전 장에서 다룬 좌표변환식 \(\left( {3.2.1.6} \right)\)에 의하여 \({\rm{d}}{x^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}d{x^{\rm{b}}}{\rm{\;\;\;\;\;\;}}\left( {3.2.2.1} \right)\)

○점P에서 변환된다는 의미에서 엄격하게 다음과 같이 표현가능하며, \({\left[ {\frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}} \right]_P}\)는 실수로 구성된 \({\rm{n}} \times {\rm{n}}\) 행렬이다.

dx'a=∂x'a∂xbPdxb (3.2.2.2)

■  Rank (order) 1 반변 벡터(Contravariante vector) 혹은 반변 텐서(Contravariant tensor)는 \({X^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}{X^{\rm{b}}}\)에 의하여 변화하는 좌표에 따라 변환(transform under a change of coordinates according to \({X^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}{X^{\rm{b}}}\))되는 일련의 물리량(a set of quantities)이다. 그리고 점 P와 관련된\({x^a}\)-coordinate system에 있는 \({X^a}\)가 Rank (order) 1 반변 벡터(Contravariante vector) 혹은 반변 텐서(Contravariant tensor) 이다.

○ \({X^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}{X^{\rm{b}}}\)에 의하여 변환되는 벡터 혹은 텐서 \({X^{\rm{b}}}\)를 반변 벡터 혹은 반변 텐서라고 한다라는 의미임

■  반대로, \({X^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{\rm{b}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{X^{\rm{b}}}\)에 의하여 변환되는 벡터 혹은 텐서 \({X^{\rm{b}}}\)를 공변 벡터(Covariant vector) 혹은 공변 텐서(Covariant Tensor)라고 한다.

○ 점 P에서 실수 함수 \(\phi = \phi \left( {{x^a}} \right)\)이고 \(\phi \)는 연속함수 이고 미분가능한 함수라고 가정하면, \(\phi \)를 \({x^{'b}}\)로 미분하면, \(\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x^{'b}}}}\)

○ \(\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x^{'b}}}}\)는 chain Rule에 의하여 \(\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x^{'b}}}} = \frac{{\partial \phi }}{{\partial {x^a}}}\frac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{'b}}}}\)

○ 즉, \({X^{{\rm{'}}a}} = \frac{{\partial {x^{\rm{b}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'}}a}}}}{X^{\rm{b}}}\)

■  상기 설명에서 나타나듯이, 기저 벡터는 반변 방식으로 변환되고 함수는 공변 방식으로 변환된다

■  Mixed Tensor

○ 반변과 공변이 혼합된 변환 : X' bca=∂x'a∂xd∂xe∂x'b∂xf∂x'cX efd

○ 이 경우, type(1,2) 혹은 valence(1,2)라고 표기하며 total rank = 3

○ Type(p,q) 혹은 valence(p,q)

♦ Contravariant rank : p

♦ Covariant rank : q

♦ Total rank = p+q

■  An association of a tensor to every point P is called a tensor field

P→Tb⋯a⋯(P)

where we will assume that all the components of the tensor are smooth functions of the coordinates. We shall mainly work with tensor fields but will refer to them as tensors for short.

3.2.3.  Elementary operations with tensors

■  We can add and subtract tensors of the same type

Xbca=Ybca+Zbca

■  We can multiply two tensors of rank \(\left( {p_1^{},q_1^{}} \right)\) and \(\left( {p_2^{},q_2^{}} \right)\) to obtain a tensor of rank \(\left( {p_1^{} + p_2^{},q_1^{} + q_2^{}} \right)\)

Xbca=YaZbc

■  The commutator of two vector fields \({\rm{X}}_{}^a,{\rm{Y}}_{}^a\) is defined by

X,Ya=Xb∂Ya∂xb-Yb∂Xa∂xb

and is a vector field. It follows from the definition that

X,Xa≡0 X,Ya≡-Y,Xa X,Y,Zaa+Z,X,Yaa+Y,Z,Xaa≡0

■  Kronecker delta = \({\rm{\delta }}_{\rm{b}}^a{\rm{\;\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1\;\;if\;a = b}\\{0\;\;if\;a \ne b}\end{array}} \right.\)

○ ∂x'a∂x'b=∂xa∂xb=δba

○ \(a = {\rm{b}}\)일 때만 \({\rm{\delta }}_{\rm{b}}^a = 1\)이므로, \({\rm{\delta }}_{\rm{b}}^a{\rm{A}}_{a{\rm{b}}}^{} = {\rm{A}}_a^{}\)와 같이 Index를 줄이는 역할을 한다

■  We can obtain a tensor of rank \(\left( {p - 1,q - 1} \right)\) from a mixed tensor of rank \(\left( {p,q} \right)\) by the process of contraction

Xbcda→Ycd=Xacda

Note that the process of contraction can be obtained using \({\rm{\delta }}_{\rm{b}}^a\)

Xbcda=δbaXbcda

i.e. multiplying by \({\rm{\delta }}_{\rm{b}}^a\) turns the index b into the index a (or vice versa)

■  The symmetric part of general covariant tensor of rank 2 is denoted by

X(ab)=12Xab+Xba

and the antisymmetric part by

Xab=12Xab-Xba

3.2.4. Index-free interpretation of contravariant vector fields

■  특별한 경우를 이용하여 Index free approach에 대한 이해를 돕는다. 핵심 아이디어는 베터장을 operator로 해석하는 것이며, 이 operator는 실수 함수를 실수 함수로 Mapping하는 기능을 한다.

■  \(Xf = {\rm{g}}\) (X operates on any real-valued function f to produce another function g) 어떤 좌표계를 도입함으로써 \(Xf\)가 어떻게 계산되는지를 보여준다

■  \({x^a}\)-coordinate system에서 notation \(\partial _a^{} \equiv \frac{\partial }{{\partial {x^a}}}\)를 도입하면, \(X\)는 operator(연산자)로서 다음과 같이 정의된다

X=Xa∂a (3.2.4.1)

■  그러면, 실수 함수 \(f\)에 대하여

Xf=Xa∂af=Xa∂af

■  Kronecker delta \({\rm{\delta }}_{\rm{b}}^a = \frac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{\rm{b}}}}}\) 를 이용하면,

δba=∂xa∂xb=∂∂xbxax'c(xd)=∂xa∂x'c∂x'c∂xb X'a∂'a=X'a∂∂x'a=∂x'a∂xbXb∂xc∂x'a∂∂xc ∵반변 Tensor(X'a=∂x'a∂xbXb)와 Chain Rule, =∂x'a∂xb∂xc∂x'aXb∂∂xc=δbcXb∂∂xc=Xb∂∂xb=Xa∂∂xa=Xa∂a ∴X'a∂'a=Xa∂a (3.2.4.2)

■  P점에서 벡터는 식(3.2.4.1)에 의하여 \(X_P^{} = {\left[ {X_{}^a} \right]_P}{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {x^a}}}} \right]_P}\)로 주어지며, 이 식은 \({\left[ {\frac{\partial }{{\partial {x^a}}}} \right]_P}\)의 선형 결합이다.

■  P점에서 모든 반변 벡터의 벡터 공간은 tangent space로 알려져 있고 \(T_P^{}\left( M \right)\)으로 표시한다

■  Manifold에 있는 임의의 점에서 tangent space는 underlying manifold와 다르다. 상기 그림에서 화살표는 Manifold위에 있는 것이 아니라 tangent space에 있으므로 상기 그림에 있는 화살표에 대한 유한한 반변 벡터(finite contravariant vector)를 나타내는데 주의가 필요하다. 이에 대한 두 가지 예외가 유클리드 공간과 Minkowski space-time이며 이 두 예외 공간에서는 각 점에서 tangent space가 Manifold와 일치한다.

3.2.5.  Lie Bracket or Commutator

■  X와 Y 벡터장이 주어지면, 다음식에 의하여 X와 Y 의 Commutator 혹은 Lie bracket로 불리는 새로운 벡터장을 정의할 수 있다.

X,Y=XY-YX (3.2.5.1)

○ \(\left[ {X,Y} \right] = Z\)이고 임의의 함수(arbitrary function) \(f\)에 대하여 연산하면,

Zf=X,Yf=XY-YXf=XYf-YXf =XYa∂af-YXa∂af=Xb∂bYa∂af-Yb∂bXa∂af (by 3.2.4.1) =Xb∂bYa∂af+XbYa∂b∂af-Yb∂bXa∂af-YbXa∂b∂af =Xb∂bYa∂af-Yb∂bXa∂af+XbYa∂b∂af-YbXa∂b∂af =Xb∂bYa∂af-Yb∂bXa∂af+XaYb∂a∂bf-XaYb∂b∂af =Xb∂bYa-Yb∂bXa∂af-XaYb(∂b∂af-∂a∂bf) =Xb∂bYa-Yb∂bXa∂af ∵∂a∂b=∂2∂xa∂xb=∂2∂xb∂xa=∂b∂a, commutativity

○ \(f\)가 arbitrary이므로, \({\left[ {X,Y} \right]^a} = {Z^a} = X_{}^b\partial _b^{}Y_{}^a - Y_{}^b\partial _b^{}X_{}^a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {3.2.5.2} \right)\)

X,Y≡0 (3.2.5.3) X,Y≡-Y,X (3.2.5.4) X,Y,Z+Z,X,Y+Y,Z,X=0 (3.2.5.5)

○ \(\left[ {X,Y} \right] \equiv - \left[ {Y,X} \right]\)는 Lie bracket이 anti-commutative라는 의미

○ Jacobi’s identity : \(\left[ {X,\left[ {Y,Z} \right]} \right] + \left[ {Z,\left[ {X,Y} \right]} \right] + \left[ {Y,\left[ {Z,X} \right]} \right] = 0\)

- Notice it states that the left-hand side is not just equal to zero but is identically zero. What does this mean? The equation \({x^2} - 4 = 0\) is only satisfied by particular values of \(x\), namely, +2 and -2. The identity \({x^2} - {x^2} \equiv 0\) is satisfied for all values of \(x\).But, you may argue, the \({x^2}\) terms canceled out, ad this is precisely the point. An expression is identically zero if, when all the terms are written out fully, they all cancel in pairs.