동서양 고대 수학(3) – 지구와 달의 크기 및 달까지 거리

고대 사람들은 지구의 반지름, 달의 크기, 달까지 거리를 측정했다는데 지금과 같은 장비도 없는데 어떻게 했을까요? 여러 명이 시도했지만 최초로 한 사람들이 어떻게 했는지 보겠습니다.

<지구 반지름 구하기>

기원전 273 ~ 192에 살았던 에라토스테네스라는 사람입니다. 에라토스테네스는 태양으로부터 오는 빛과 그림자를 이용합니다. 에라토스테네스는 시에나에서는 하지에 태양이 우물에 똑바로 비친다는 기록을 보게 됩니다. 에라토스테네스가 사는 알렉산드리아에서는 그런 일이 발생하지 않는데 말이죠. 에라토스테네스가 이 현상을 이용합니다. 하지 정오에 시에나와 알렉산드리아에 각각 막대를 세우면 시에나에서는 그림자가 생기지 않지만 알렉산드리아의 막대에는 그림자가 생깁니다. (아래그림 참조)

이렇게 해서, 얻은 자료를 이용하면 구할 수 있게 되는데, 다음과 같은 비례식이 성립하게 됩니다. 

지구 둘레 : 호의 길이 =  360 : 중심각

지구 둘레 = 2 π r = 호의 길이 X (360/중심각)

r = 호의 길이 X (360/중심각) / 2 π = 호의 길이 X  180 / ( 중심각 * π )

따라서, 측정해야 할 값은 호의 길이와 중심각이 필요하게 됩니다. 에라토스테네스의 경우 호의 길이는 알렉산드리아와 시에나까지의 거리가 됩니다(두 위치의 경도가 동일해야 하는데 동일하지 않으면 오차가 생깁니다.). 중심각은 아래 그림에서와 같이 햇빛이 평행하다고 가정하면 점A의 θ와 점 B의 θ는 동일하게 됩니다. 

점 B의 막대는 그림자가 있는 알렉산드리아의 막대가 됩니다. 이해하기 쉽게 그림을 바꿔보면 다음과 같습니다. 저 θ의 각을 측정하거나 직각 삼각형이므로 90 – θ를 측정해서 θ값을 구해도 됩니다. 

만약 호의 길이는 800Km이고 중심각은 7.2도 라고 가정하고 계산해 보면, 반지름 = 호의 길이 X  180 / ( 중심각 * π ) = 800Km X  180 / (7.2 * π ) = 6,369 km 정도가 됩니다. 

< 달의 크기 측정 >

아리스타코스는 기원전 310년 ~ 230년에 살았으며, 지동설을 최초로 주장한 사람이라고 합니다. 아리스타코스는 월식을 이용하여 달의 크기를 측정합니다. 월식은 달이 지구의 그림자에 가려지는 현상을 말합니다. 만약, 지구의 그림자가 지구의 크기와 동일하다고 가정하고 달이 지구의 그림자를 완전히 통과할 때까지 시간(아래 그림 시간B)과 달이 지구 그림자에 모두 들어갈 때까지 시간(아래 그림 시간A)을 이용하는 방법입니다. 달이 지구 그림자에 모두 들어갈 때까지 시간은 달의 지름과 관련이 있고 달이 지구의 그림자를 완전히 통과할 때까지 시간은 지구의 지름과 관련이 있습니다. 두 시간의 비가 결국 달의 지금에 대한 지구의 지름의 비가 되는 것입니다. 

달이 지구를 공전하는 시간은 27.3일입니다. 따라서, 1도에 얼마나 시간이 걸리는지 계산이 가능합니다. 지구를 중심으로 했을 때 달이 1분에 몇 도를 공전하는지 계산하면, 

360 : 27.3 = M : 1분

M = 1분 X (360 / 27.3일) = 0.00916 도/분 = 0.54945 도/시간

따라서, 측정된 시간에 M을 곱하면 지름이 길이 대신 각도로 표현되게 됩니다. 

그냥, 지구 지름이 달 지름의 몇 배인지를 알고 싶을 때는 (시간B X M ) / (시간A X M) = 시간B/시간A로 알 수 있습니다. 이 식을 이용하면 지구 지름을 이용하여 달 지름을 계산할 수 있게 됩니다.

< 달까지 거리>

달까지 거리는 달의 반지름을 알면, 아래와 같이 삼각비를 이용하면 됩니다. 손에 동전을 들고 눈으로 볼 때 달이 완전히 가려지도록 합니다. 이 때 눈에서 동전까지 거리(A)를 구합니다. 그리고, 동전의 반지름 C를 구합니다. 달의 반지름은 조금 전에 방법을 이용해서 구해둡니다.

그럼, 다음 비례식을 이용하여 지구에서 달까지 거리를 계산할 수 있습니다.

B : A = 달 반지름 : 동전 반지름 = D : C

B = (D/C) X A

즉, 달까지 거리는 달 반지름에 동전 반지름으로 나눈 결과에 눈에서 동전까지 거리를 곱하면 됩니다. 

그리스 시대에는 여러 사람들이 계산하였고 방금 소개한 방법보다 더 정교하게 측정하였습니다. 그러나, 오늘은 최초로 시도한 방법들만 소개하였습니다. 초등학교 6학년 정도의 수학 실력이면 풀 수 있는 문제들입니다만 산식이 아니라 실제로 구해 볼려고 생각해보면 막막하게 됩니다. 고민해야 할 것들이 엄청 많은 것을 알 수 있습니다.