독학 아재의 물리 이야기: 3.3. Tensor Calculus - 3.3.1. Partial Derivative of Tensor & 3.3.2. Lie Derivative

I mainly refer to the D'inverno book

D’inverno “Introducing Einstein’s Relativity Chapter 6.1. & 6.2”

Ryder, “Introduction to General Relativity 3.10. Parallel transport”

3.3.1. Partial Derivative of Tensor

■ Notation : $\partial_{b} A^{a} = \frac{\partial A^{a}}{\partial x^{b}} = A_{, b}^{a}$

○ ${\partial'}_{c} {A'}^{a} = \frac{\partial}{\partial x^{' c}} (\frac{\partial {x'}^{a}}{\partial x^{b}} A^{b}) = \frac{\partial x^{d}}{\partial x^{' c}} \frac{\partial}{\partial x^{d}} (\frac{\partial x^{' a}}{\partial x^{b}} A^{b}) = \frac{\partial {x'}^{a}}{\partial x^{b}} \frac{\partial x^{d}}{\partial x^{' c}} \partial_{d} A^{b} + \frac{\partial^{2} x^{' a}}{\partial x^{b} \partial x^{d}} \frac{\partial x^{d}}{\partial x^{' c}} A^{b} = \frac{\partial {x'}^{a}}{\partial x^{b}} \frac{\partial x^{d}}{\partial x^{' c}} \partial_{d} A^{b} + \frac{\partial^{2} x^{' a}}{\partial x^{b} \partial x^{' c}} A^{b}$

♦ 다른 풀이 : ${\partial'}_{c} {A'}^{a} = \frac{\partial}{\partial x^{' c}} (\frac{\partial x^{' a}}{\partial x^{b}} A^{b}) = \frac{\partial^{2} x^{' a}}{\partial x^{' c} \partial x^{b}} A^{b} + \frac{\partial x^{' a}}{\partial x^{b}} \partial_{c} A^{b} = \frac{\partial^{2} x^{' a}}{\partial x^{' c} \partial x^{b}} A^{b} + \frac{\partial x^{' a}}{\partial x^{b}} \frac{\partial x^{d}}{\partial x^{' c}} \partial_{d} A^{b}$

■ Tensor의 편미분은 Tensor가 아니며, 종종 Ordinary derivatives of a tensor라고도함

○ 첫 번째항은 반변 변환(contra과 공변 변환으로 Tensor 특성이 나타나는 반면,

○ $\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}}$가 비유클리드 공간에서 비선형 변환(non-linear transformations)이므로${\rm{\;}}\frac{{{\partial ^2}x{'^a}}}{{\partial {x^b}\partial {x^d}}}\frac{{\partial {x^d}}}{{\partial x{'^c}}}{A^b}$가 사라지지 않고 남으며, 두 번째 항(second term)은 $\frac{{{\partial ^2}x{'^a}}}{{\partial {x^b}\partial {x^d}}}$로 Tensor처럼 변환되지 않음(Non-Tensor)

○ 만약, $\frac{\partial }{{\partial x{'^c}}}\left( {\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}}{A^b}} \right)$에서 $\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}}$ (Linear Transformation, )라면, $\frac{{{\partial ^2}x{'^a}}}{{\partial {x^b}\partial {x^d}}}\frac{{\partial {x^d}}}{{\partial x{'^c}}}{A^b} = 0$이됨 (Ryder’s Book “3.10 Parallel transport”)

3.3.2. Lie Derivative

■ n차원 좌표 중 1개 좌표만 곡선을 따라 변하고 나머지 좌표는 상수인 특수한 상황에서 도함수이다. Lie derivative라고 명시적으로 사용하진 않지만 종종 text에서 나오는 개념이다

■ Manifold에서의 각 점을 지나는 하나의 곡선을 고려해 보자. 그러면, 임의의 하나의 곡선은 ${x^a} = {x^a}\left( u \right)$. 곡선에 대한 tangent vector filed는 ${\rm{d}}{x^a}/{\rm{d}}u$를 정의할 수 있다

○ 1개 좌표만 곡선을 따라 변하고 나머지 좌표는 상수임으로 임의의 하나의 곡선인 ${x^a} = {x^a}\left( u \right)$를 제외한 다른 좌표에서 tangent vector field는 “0”이다

■ 반대로, “0”이 아닌 tangent vector field가 주어지면 궤적을 알 수 있다.

○ Given a non-zero vector field ${{\rm{X}}^a}\left( x \right)$ defined over the manifold, then this can be used to define a congruence of curves in the manifold called the orbits or trajectories of ${{\rm{X}}^a}$

■ 그리고, 상기 두 과정은 동일하므로 ${\rm{d}}{x^a}/{\rm{d}}u = {{\rm{X}}^a}\left( {x\left( u \right)} \right)$

q 따라서, ${\rm{d}}{x^a}/{\rm{d}}u = {{\rm{X}}^a}\left( {x\left( u \right)} \right)$를 풀면 곡선을 도출할 수 있다

■ 지금부터는 Locally 어떤 일이 발생되는가에 관심을 가진다. 매우 중요한 개념이므로 주의를 해서 읽어 보자! 뒤에서 parallel transport 혹은 local inertia 등으로 매우 중요하게 활용되는 개념이다

■ ${{\rm{X}}^a}$를 이용하여 미분 가능한 Tensor Field $T_{b \cdots }^{a \cdots }\left( x \right)$ 가정하자. P를 통과하는 곡선 위에 어떤 점 P($T_{b \cdots }^{a \cdots }\left( P \right)$)에서 텐서를 neighbouring point Q까지 drag하기 위하여 곡선들의 congruence를 이용한다. 이 Tensor를 ‘Dragged-along tensor’라고 하고 Q점에서의 Tensor와 비교해 보자

○ We can subtract the two tensors at Q and so define a derivative by some limiting process as Q tends to P. the technique for dragging involves viewing the coordinate transformation from P to Q actively, and applying it to the usual transformation law for tensors. We consider the detailed calculation in the case of a contravariant tensor field of rank 2 $T_{}^{ab}\left( x \right)$ say.

○ Point transformation

{x'}^{a} = x^{a} + δ u X^{a} (x) w h e r e δ u i s s m a l l

○ 좌표 ${x^a}$인 P점을 좌표 ${x^a} + \delta u{X^a}\left( x \right)$인 Q점으로 변환하며 두 점은 동일한 ${x^a} - coodinate{\rm{\;}}system$에 있음

P \to Q

{x'}^{a} \to x^{a} + δ u X^{a} (x)

○ Q점은 명확하게 P를 통과하는 congruence의 곡선 위에 있다

○ $x{{\rm{'}}^a} = {x^a} + \delta u{X^a}\left( x \right)$를 미분하면, $\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}} = \delta _b^a + \delta u{\partial _b}{X^a}$

■ P점에서 Tensor Field T^ab를 Point transformation 하면

T^{a b} (x) \to {T'}^{a b} (x^{'})

○ the transformation ‘drags’ the tensor ${T^{ab}}$ along from P to Q

○ ${T^{'}}^{a b} (x^{'}) = \frac{\partial x^{' a}}{\partial x^{c}} \frac{\partial x^{' b}}{\partial x^{d}} T^{c d} (x) = (δ_{c}^{a} + δ u \partial_{c} X^{a}) (δ_{d}^{b} + δ u \partial_{d} X^{b}) T^{c d} (x)$ $= T^{a b} (x) + [\partial_{c} X^{a} T^{c b} (x) + \partial_{d} X^{b} T^{a d} (x)] δ u + O (δ u^{2})$

○ $T^{a b} (x') = T^{a b} (x^{c} + δ u X^{c} (x)) = T^{a b} (x) + δ u X^{c} \partial_{c} T^{a b} (x) (∵ T a y l e r t h e o r e m)$

■ Lie Derivative of ${T^{ab}}$ with respect ${X^a}$

{L_{X} T}^{a b} = \lim_{δu \to 0} \frac{T^{a b} (x') - {T'}^{a b} (x')}{δ u}

\lim_{δu \to 0} \frac{T^{a b} (x') - {T'}^{a b} (x')}{δ u} = \lim_{δu \to 0} \frac{T^{a b} (x) + δ u X^{c} \partial_{c} T^{a b} (x) - T^{a b} (x) - [\partial_{c} X^{a} T^{c b} (x) + \partial_{d} X^{b} T^{a d} (x)] δ u}{δ u}

= X^{c} \partial_{c} T^{a b} - T^{c b} \partial_{c} X^{a} - T^{a d} \partial_{d} X^{b} = X^{c} \partial_{c} T^{a b} - T^{c b} \partial_{c} X^{a} - T^{a c} \partial_{c} X^{b}

■ It can be shown that it is a always possible to introduce a coordinate system, such that the curve passing through P is given by ${x^1}$ varying, with ${x^2},{x^3}, \cdots ,{x^n}$ all constant along the curve, and such that $X^{a} ≛ δ_{1}^{a} = (1,0, 0, \dots, 0)$ along this curve.

○ Notation $≛$ means that the equation holds only in a particular coordinate system.

X = X^{a} \partial_{a} ≛ \partial_{1}, L_{X} T^{a b} ≛ \partial_{1} T^{a b}

○ Lie Differentiation은 상미분으로 변환시켜준다

■ Property of Lie derivative

○ Linear : $L_{X} (λ Y^{a} + μ Z^{a}) = λ L_{X} Y^{a} + μ L_{X} Z^{a}$

○ Leibniz : $L_{X} (Y^{a} Z_{b c}) = Y^{a} (L_{X} Z_{b c}) + (L_{X} Y^{a}) Z_{b c}$

○ Type-preserving : the Lie derivative of a tensor of type (p,q) is again a tensor of type (p,q)

○ It commutes with contraction : $δ_{b}^{a} L_{X} T_{b}^{a} = L_{X} T_{a}^{a}$

○ Lie derivative of a scalar field $\phi $ : $L_{X} ϕ = X ϕ = X^{a} \partial_{a} ϕ$

○ The Lie derivative of a contravariant vector field ${Y^a}$ is given by the Lie bracket of X and Y :

L_{X} Y^{a} = {[X, Y]}^{a} = X^{b} \partial_{b} Y^{a} - Y^{b} \partial_{b} X^{a}

○ The Lie derivative of a covariant vector field ${Y_a}$ is given by the Lie bracket of X and Y

L_{X} Y_{a} = X^{b} \partial_{b} Y_{a} - Y_{b} \partial_{a} X^{b}

○ The Lie derivative of a general tensor field $T_{b \cdots }^{a \cdots }$

L_{X} T_{b \dots}^{a \dots} = X^{c} \partial_{c} T_{b \dots}^{a \dots} - T_{b \dots}^{c \dots} \partial_{c} X^{a} - \dots + T_{c \dots}^{a \dots} \partial_{b} X^{c} + \dots

독학 아재의 물리 이야기

2020년 7월 21일 화요일

3.3. Tensor Calculus - 3.3.1. Partial Derivative of Tensor & 3.3.2. Lie Derivative

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