퍼텐셜 에너지(Potential Energy)

 < 퍼텐셜 에너지 개념 >

< 인력이 작용하는 경우 >

< 척력이 작용하는 경우 >

<중력과 전기력 비교>

기초적인 수학 개념(2) - 등식의 성질

 

기초적인 수학 개념(1) - 나누기와 분수의 나눗셈

인물로 보는 고대 수학(2) - 제논의 역설과 무한

고대 그리스 철학자 제논이 제시한 여러 문제들 중  하나를 소개합니다. 이 문제들은 최초로 무한과 관련된 내용이며 “제논의 역설＂이라고 합니다. 제논의 역설은 무한에 대한 개념이 정립되는 19세기에 와서야 비로서 논리적으로 반박 이가능하게 되는데, 그 중 한 문제를 소개하면

< 아킬레스와 거북이 경주 문제 >

아킬레스가 거북이보다 10배 빨리 달릴 수 있다고 가정하고, 거북이를 아킬레스보다 100m 앞에서 출발시킨다. 아킬레스가 100m를 달려가면 거북이는 10m를 가고, 따라잡기 위해 아킬레스가 10m를 가면 그동안 거북이는 1m를 나아간다. 아킬레스가 거북이를 따라잡기 위해 달린다 하여도 그 시간동안 거북이는 움직이므로 아킬레스는 영원히 거북이를 따라잡을 수 없다.

< 무한대와 무한소 >

그렇다면, “무한”을 어떻게 이해할 것인가?

무한은 무한대와 무한소 두 종류가 있습니다.

무한대는 “무한히 많다” 혹은 “무한히 크다＂라는 의미인데,  “셀 수 없을 만큼 많다“ 혹은 “크기를 젤 수 없을 만큼 크다＂라고 이해하면 상대적으로 이해가 쉽습니다.

(추상적 개념임을 잊지 말자!)

무한소는 “매우 작다”는 의미인데 "셀 수 없을 만큼 작다"는 말이 되지 않기 때문에 크기만 의미한다고 생각하면 된다. 즉, “크기가 0에 가까울 만큼 작지만 “0”은 아니다.”라고 이해하면 상대적으로 쉽습니다.

예를 보면 이해가 쉬운데, 0~1인 선을 생각해 보자구요!

크기가 1인 선을 자르는데, 무한히 쪼개면 크기가 어떻게 될까요?

< 무한과 극한 >

극한은 고등학교에서 배우는 내용으로 이해가 되지 않아도, 이런게 있구나 하는 정도로 알고 있어도 됩니다.

< 아킬레스와 거북이 경주 >

이 문제를 처음보면, 뭔가 틀린거 같기는 한데 뭐라고 꼭 짚어서 이것 때문에 틀렸다라고 말하기가 어렵다는 것을 느낍니다. 인터넷에 많은 블로그에서는 무한등비급수로 이를 해석하는데 사실 이것도 내용이 고등학생이나 되어야 이해가 될 수 있는 내용입니다.  그럼에도 불구하고 가능한 나름대로(?) 쉽게 풀어보도록 하겠습니다.

언뜻보면, “영원히”이라는 단어 때문에 시간이 영원한 것처럼 보입니다. 그런데, 실제로는 시간이 영원한 것이 아닙니다. 시간을 계산보면 금방 알 수 있습니다. 그럼 이제 시간을 한번 계산해 볼까요?

시간을 계산해 볼려면, 아킬레스가 얼마나 빨리 달리는지를 알면 됩니다.

아킬레스의 달리기 실력을 알면, 아킬레스가 거북이보다 10배 빠르기 때문에 거북이의 달리기 실력도 알 수 있습니다.

아킬레스가 100m를 10초에 달린다고 하면, 거북이는 10초에 10m를 달릴 수 있다는 것을 의미합니다.

그럼, 문제에서 처럼 아킬레스가 거북이가 있었던 자리까지 달리고 그 동안 거북이는 또 더 나아가고를 반복을 해보세요. 

위 그림에 왼쪽에 시간을 표시하고 무한을 ∞로 표시했습니다. 아킬레스가 거북이에 가까이 갈수록 시간이 점점 줄어드는 것을 알 수 있습니다. 

시간을 나열해 보면, 10초, 1초, 1/10초, 1/100초, …, 1/10000000000000000초,… 1/n 초,… 됩니다. 이와 같이 아킬레스가 거북이에게 다가가고 그 동안 거북이가 더 나아가는 것을 무한히 반복하면, n이 무한대가 된다고 합니다. 그럼, 어떻게 될까요? 점점 더 “0”초에 가깝게 된다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 어느 순간 시간이 정지한 것과 같은 상황이 된다는 것을 의미합니다. 시간이 정지했는데 아킬레스가 거북이를 이길 수 있을까요?

다시 말하면, 아킬레스가 거북이에 가까워질수록 시간이 흐르지 않게 된다는 의미하고 이것은 아킬레스가 거북이를 만나는 순간에 걸리는 시간은 "0"에 매우 가깝게 됩니다.

따라서, “아킬레스와 거북이 경주“ 문제는 아킬레스가 거북이와 만나는데 걸리는데 시간이 얼마나 걸리는지를 묻는 문제와 다르지 않습니다. 

11.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111… 초면 아킬레스가 거북에 가장 가까워지고 0.01초가 더 지나면 아킬레스가 거북이를 이기게 됩니다.

즉, 제논의 문제는 아킬레스가 거북이에 가까이 가는 행동을 무한히 반복해서 언제 아킬레스가 거북이를 만나는지에 대한 문제이지 아킬레스가 거북이를 이기는지 여부의 문제가 아닙니다.

<수열과 급수, 그리고 무한 (어려우면 보지 않아도 돼요)>

이 부분은 어려우므로 보지않아도 됩니다. 고등학교에서 배우는 내용이므로 이렇게 있구나 하는 정도로만 보고 지나쳐도 됩니다.

인물로 보는 고대 수학(1) - 피타고라스와 무리수

기원전 570년 ~ 기원전 495년에 살았던 인물로 피타고라스에 대한 기록들은 그의 사후에 작정되었던 것으로 신뢰할 수 있는 정보가 드물다고 합니다. 피타고라스는 그를 따르는 사람들이 많아 학파를 이루었는데 그 학파를 “피타고라스 학파”라고 합니다. 피타고라스 학파는 종교집단과 같아서 신비주의 집단이었다고 합니다. 학파 사람들끼리 알게 된 내용을 함부로 외부에 알리지 못하게 하였기 때문에 피타고라스의 업적이 피타고라스가 한 것인지 그의 제자가 한 것인지 명확히 알 수가 없다고 합니다. 피타고라스 학파의 업적 중 우리에게 가장 많이 알려져 있는 것은 피타고라스의 정리입니다.

<피타고라스 정리>

피타고라스 정리는 직각삼각형 세변의 길이의 관계를 나타내는 수식입니다. 피타고라스는 증명을 길가에 깔려있는 타일을 보고 했다고 합니다. (피타고라스가 만들지 않았다는 주장도 있습니다.)

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 1) 유클리드의 증명, 2) 삼각형의 닮은꼴을 이용한 증명, 3) 대수적 증명, 4) 가필드의 증명 외에 매우 많습니다. 이와 같이 여러 증명 중 가장 쉬운 증명을 하나 소개하겠습니다(삼각형의 닯음꼴을 이용하는 방법을 소개).

<참조>

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

http://weteacher.net/math/theorem/Pythagoras.htm

<피타고라스 음계>

피타고라스 정리 외에도 음악에도 관심이 많았나 봅니다. 현의 길이가 정수비를 가질 때 소리가 아름답다는 것을 발견하고 “피타고라스 음계”라는 것을 만들었다고 합니다. 음악적인 의미는 잘 모르겠지만 수학적인 의미에서 중요한 것은 정수비입니다. 이걸 조금 다르게 표현하면 정수로 이루어진 분수가 됩니다. 만물의 근원을 수로 생각하는 피타고라스 학파에게는 아름다운 조화를 만들어내는 정수비는 매우 중요한 것입니다.

<참조>

https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=forfriend5&logNo=220465941351&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F

<히파수스의 무리수 발견>

무리수란 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수입니다. 느낌이 오시나요? “피타고라스 음계”에서 이야기 한 것처럼 정수비(=분수)가 아닌 수가 무리수입니다. 정수비(=분수)로 나타내는 수는 유리수이고 영어로 rational number입니다. 무리수는 영어로 irrational number입니다. ‘ir”이 더 있는데 유리수가 아닌 수란 의미죠. 이 무리수를 발견한 사람이 피타고라스 학파의 일원인 히파수스라는 사람입니다. 히파수스는 피타고라스 정리에 1을 대입한 후, 제곱해서 2가되는 수를 찾아 봤습니다. 그런데, 정수비로는 이런 수가 존재하지 않는 다는 것을 알게 됩니다(\({1^2} + {1^2} = 2 = {x^2},\;x = ?\)). 종교집단인 피타고라스 학파에서는 정수비가 아닌 수가 존재한다는 것을 받아 들일 수가 없었나 봅니다. 결국, 무리수의 존재를 이야기한 히파수스는 동료들에게 쫓기다 절벽에 떨어져 죽었다고 합니다. 피타고라스 학파의 일원인 히파수스가 자기의 스승이 만든 피타고라스 정리를 이용하여 무리수를 발견하고 자신의 동료들에게 죽임을 당했다고 하니 아이러니한 거 같습니다.  

동서양 고대 수학(3) – 지구와 달의 크기 및 달까지 거리

고대 사람들은 지구의 반지름, 달의 크기, 달까지 거리를 측정했다는데 지금과 같은 장비도 없는데 어떻게 했을까요? 여러 명이 시도했지만 최초로 한 사람들이 어떻게 했는지 보겠습니다.

<지구 반지름 구하기>

기원전 273 ~ 192에 살았던 에라토스테네스라는 사람입니다. 에라토스테네스는 태양으로부터 오는 빛과 그림자를 이용합니다. 에라토스테네스는 시에나에서는 하지에 태양이 우물에 똑바로 비친다는 기록을 보게 됩니다. 에라토스테네스가 사는 알렉산드리아에서는 그런 일이 발생하지 않는데 말이죠. 에라토스테네스가 이 현상을 이용합니다. 하지 정오에 시에나와 알렉산드리아에 각각 막대를 세우면 시에나에서는 그림자가 생기지 않지만 알렉산드리아의 막대에는 그림자가 생깁니다. (아래그림 참조)

이렇게 해서, 얻은 자료를 이용하면 구할 수 있게 되는데, 다음과 같은 비례식이 성립하게 됩니다. 

지구 둘레 : 호의 길이 =  360 : 중심각

지구 둘레 = 2 π r = 호의 길이 X (360/중심각)

r = 호의 길이 X (360/중심각) / 2 π = 호의 길이 X  180 / ( 중심각 * π )

따라서, 측정해야 할 값은 호의 길이와 중심각이 필요하게 됩니다. 에라토스테네스의 경우 호의 길이는 알렉산드리아와 시에나까지의 거리가 됩니다(두 위치의 경도가 동일해야 하는데 동일하지 않으면 오차가 생깁니다.). 중심각은 아래 그림에서와 같이 햇빛이 평행하다고 가정하면 점A의 θ와 점 B의 θ는 동일하게 됩니다. 

점 B의 막대는 그림자가 있는 알렉산드리아의 막대가 됩니다. 이해하기 쉽게 그림을 바꿔보면 다음과 같습니다. 저 θ의 각을 측정하거나 직각 삼각형이므로 90 – θ를 측정해서 θ값을 구해도 됩니다. 

만약 호의 길이는 800Km이고 중심각은 7.2도 라고 가정하고 계산해 보면, 반지름 = 호의 길이 X  180 / ( 중심각 * π ) = 800Km X  180 / (7.2 * π ) = 6,369 km 정도가 됩니다. 

< 달의 크기 측정 >

아리스타코스는 기원전 310년 ~ 230년에 살았으며, 지동설을 최초로 주장한 사람이라고 합니다. 아리스타코스는 월식을 이용하여 달의 크기를 측정합니다. 월식은 달이 지구의 그림자에 가려지는 현상을 말합니다. 만약, 지구의 그림자가 지구의 크기와 동일하다고 가정하고 달이 지구의 그림자를 완전히 통과할 때까지 시간(아래 그림 시간B)과 달이 지구 그림자에 모두 들어갈 때까지 시간(아래 그림 시간A)을 이용하는 방법입니다. 달이 지구 그림자에 모두 들어갈 때까지 시간은 달의 지름과 관련이 있고 달이 지구의 그림자를 완전히 통과할 때까지 시간은 지구의 지름과 관련이 있습니다. 두 시간의 비가 결국 달의 지금에 대한 지구의 지름의 비가 되는 것입니다. 

달이 지구를 공전하는 시간은 27.3일입니다. 따라서, 1도에 얼마나 시간이 걸리는지 계산이 가능합니다. 지구를 중심으로 했을 때 달이 1분에 몇 도를 공전하는지 계산하면, 

360 : 27.3 = M : 1분

M = 1분 X (360 / 27.3일) = 0.00916 도/분 = 0.54945 도/시간

따라서, 측정된 시간에 M을 곱하면 지름이 길이 대신 각도로 표현되게 됩니다. 

그냥, 지구 지름이 달 지름의 몇 배인지를 알고 싶을 때는 (시간B X M ) / (시간A X M) = 시간B/시간A로 알 수 있습니다. 이 식을 이용하면 지구 지름을 이용하여 달 지름을 계산할 수 있게 됩니다.

< 달까지 거리>

달까지 거리는 달의 반지름을 알면, 아래와 같이 삼각비를 이용하면 됩니다. 손에 동전을 들고 눈으로 볼 때 달이 완전히 가려지도록 합니다. 이 때 눈에서 동전까지 거리(A)를 구합니다. 그리고, 동전의 반지름 C를 구합니다. 달의 반지름은 조금 전에 방법을 이용해서 구해둡니다.

그럼, 다음 비례식을 이용하여 지구에서 달까지 거리를 계산할 수 있습니다.

B : A = 달 반지름 : 동전 반지름 = D : C

B = (D/C) X A

즉, 달까지 거리는 달 반지름에 동전 반지름으로 나눈 결과에 눈에서 동전까지 거리를 곱하면 됩니다. 

그리스 시대에는 여러 사람들이 계산하였고 방금 소개한 방법보다 더 정교하게 측정하였습니다. 그러나, 오늘은 최초로 시도한 방법들만 소개하였습니다. 초등학교 6학년 정도의 수학 실력이면 풀 수 있는 문제들입니다만 산식이 아니라 실제로 구해 볼려고 생각해보면 막막하게 됩니다. 고민해야 할 것들이 엄청 많은 것을 알 수 있습니다.

동서양 고대 수학(2) - 동양 (구장산술)

옛날 서양(유럽)에서 동양은 유럽의 동쪽으로 이슬람 문화권이나 인도를 의미하는데, 사실상 더 동쪽엔 아시아가 있고 그 중 중국, 한국, 일본이 있다고 할 수 있습니다. 이 3국 중 고대에 가장 발달한 중국의 수학에 대하여 알아 볼까 합니다. 실제로 동양의 수학도 상당한 수준으로 발달되어 있음을 알 수 있습니다. 

중국에서 현존하는 가장 오래된 수학서(혹은 산학서)는 “산수서”라고 합니다. 기원전 202년 ~ 186년 사이에 작성된 것으로 추정되는데, 린드 파피루스가 기원전 1650년경이라고 하니 비교하면 훨씬 후의 수학서라고 볼 수 있습니다. 

“산수서” 다음으로 오래된 중국의 수학서는 “구장산술”이라고 합니다. 263년에 삼국지에 나오는 유휘라는 사람이 쓴 것으로 서문에 따르면 전한의 정창과 경수창이 진나라 때의 유문을 모아서 구장산술의 편집에 관여했다고 합니다. 이 구장산술은 중국의 “유클리드 원론”이라고 불리울만큼 후대에 아시아 지역 수학서로서 자리매김합니다. 물론, 구장산술에 내용을 계속 추가하거나 해설을 더하는 방식으로 말입니다.

<구장산술 구성과 내용 >

구장산술의 내용을 보면 린드 파피루스에 나와 있는 것처럼 실제 사용하는 문제들을 위주로 기술하고 있는 것을 알 수 있습니다. 린드 파피루스보다 훨씬 후대의 수학서라서 그런지 연립 방정식과 피타고라스의 정리가 보이는 것을 알 수 있네요.

1) 방전(方田以御田疇界域, 38문) - 평면도형의 넓이, 분수 계산(약분, 덧/뺄/곱셈, 대소비교, 평균)

1-1  밭이 있는데, 가로가 15보, 세로가 16보이다. 밭의 넓이는 얼마인가?

1-37 환전이 있는데, 가운데 둘레가 92보, 바깥 둘레가 122보, 간격이 5보이면 밭의 넓이는 얼마인가?

2) 속미(粟米以御交質田變易, 46문) - 비례식 (경률-삼수법, 기율)

2-1  겉곡식(속) 1말이 있는데, 궂은쌀(여미)로 바꾸려고 한다.  얼마나 얻겠는가?

2-38 576전으로 대나무78그루를 샀다. 큰 것과 작은 것의 단가를 구하면 각각 얼마인가?

3) 쇠분(衰分以御貴賤稟稅, 20문) - 비례식, 수열 

3-1 대부, 불경, 잠뇨, 상조, 공사가 모두 5인이 함께 사냥하여 사슴 5마리를 잡았는데, 작위의 서열에 따라 분배하려고 한다. 각각의 몫은 얼마인가?

3-20 1000전을 대여하면 이자가 30전이다. 70전을 빌려주고 9일 만에 받으면 이자는 얼마인가?

4) 소광(少廣分以御積冪方圓, 24문) - 분수 계산, 제곱근 (정사각형 넓이, 정육면체 부피, 구의 부피)

4-12 넓이가 55225보인 밭이 있는데, 한 변은 얼마인가?

4-23 부피가 4500자인 구가 있다. 지름은 얼마인가?   

5) 상공(商功以御功程積實, 28문) - 입체도형의 부피

5-2 성의 아래 너비가 4장, 위 너비가 2장, 높이가 5장, 길이가 126장 5 자이다.  부피는 얼마인가?

6) 균수(均輸以御遠近勢費, 28문) - 다양한 비례식

6-9 역참 수송을 하는데, 빈 수레는 하루에 70리, 짐 실은 수레는 하루에 50리를 간다. 태창의 조를 실어서 상림으로 나르는데, 5일에 3번 왕복할 수 있다. 태창과 상림 사이의 거리는 얼마인가?

7) 영부족(盈不足以御隱雜互見, 20문) - 일차방정식 (이중 임시 위치법)

7-1 여럿이 구매하려는데, 8전씩 내면 3전이 남고 7전씩 내면 4전이 모자란다. 사람수와 물건값은?

8) 방정(方程以御錯糅正負, 18문) - 일차연립방정식

8-1 벼 상품 3단, 중품 2단, 하품 1단은 알곡이 39말, 상품 2단, 중품, 3단, 하품 1단은 알곡이 43말이고,  벼 상품 1단, 중품 2단, 하품 3단은 알곡이 26말이다. 상, 중, 하품 1단의 알곡은 각각 얼마인가?

9) 구고(句股以御高深廣遠, 24문) - 피타고라스정리와 그 응용

9-1  밑면이 3자이고 높이가 4자이다. 빗변은 얼마인가?

9-12 문의 높이, 너비, 낚시대의 길이를 모두 모를 때, 낚시대를 누이면 4자가 못나가고, 

세우면 2자가 못되고 비슴듬히 기울이니 꼭 맞다. 각각의 길이는 얼마인가?

9-23 산이 나무의 서쪽에 있는데, 높이를 모른다, 산은 나무로부터 53리 떨어져 있고, 높이가 9장 5자다. 사람이 나무로부터 동쪽으로 3리 떨어진 곳에 서서 바라보니 사람의 눈높이는 7자다. 산의 높이는?

<출처>

상기 내용은 아래 사이트의 일부 내용을 그대로 인용함.

http://qmun.jinbo.net/xe/?module=file&act=procFileDownload&file_srl=26073&sid=371a3a45bb66d95f61a510555dd58268&module_srl=23067

<구장산술과 음수>

구장산술에서는 양수와 음수를 빨간 막대와 검증 막대로 표기하였다고 하였으며 양수와 음수의 셈법 등이 나와 있다고 합니다. 손해를 봤을 때 적자(赤字)라고 표현하는 것은 구장산술에서 양수와 음수의 색깔을 반대로 표기한 것이라고 합니다. 유럽에서도 음수는 디오판토스가 3세기경 방정식을 푸는 과정에서 발견이 되었으며, 15세기 경에 음수 부호를 만들었고 르네상스 시대에 들어서 음수를 이해하려고 노력하였다고 합니다. 지금의 음수 개념이 유럽에서 정립된 것은 19세기라고 합니다. 현대의 음수 개념만큼은 아니지만 동양에서는 유럽보다 훨씬 빨리 음수를 사용했다고 할 수 있겠습니다.

<참고>

http://www.wbcb.co.kr/news/articleView.html?idxno=64668

http://news.khan.co.kr/kh_news/khan_art_view.html?art_id=200707311147102

음수와 관련된 몇 가지 자료를 링크하겠습니다  <음수의 역사> 음수를 크기에 해당하는 양 http://news.khan.co.kr/kh_news/khan_art_view.html?art_id=200707311147102 <왜 음수 X 음수는 양수인가? > 음수끼리의 곱이 왜 양수가 되는지에 대한 설명 블로그입니다 http://cafe.daum.net/TCP62/3rxO/401?q=%EC%9D%8C%EC%88%98%EC%9D%98%20%EC%9D%B4%ED%95%B4

동서양 고대 수학(1) - 서양(린드 파피루스)

세계 4대 문명(이집트 문명, 바빌로니아 문명, 인더스 문명, 황화 문명)은 수학이 발달하였습니다. 여기서는 대표적으로 서양과 동양의 수학인 이집트 “린드 파피루스”와 중국의 “구장산술”에 대한 내용을 볼까 합니다. 먼저, 린드 파피루스에 있는 문제들 중 몇 가지를 보기로 하겠습니다.

<린드 파피루스>

린드 파피루스는 고대 이집트의 수학지식을 적어놓은 길이 5.5m 폭 0.33m의 두루마리라고 합니다. 종이가 나오기 전에 서양에서 파피루스라는 것을 사용했다고 합니다. 린드 파피루스는 아메스라는 사람에 의해서 작성되었고, 수학에 관한 내용과 함께 기존에 있던 파피루스를 보고 베낀 것’이라는 내용이 적혀 있다고 합니다. 린드 파피루스는 기원전 1650년 경에 작성된 것으로 추정하고 있으니 그 이전부터 이집트는 수학이 발달되었다는 것을 짐작할 수 있습니다.

<린드 파피루스의 구성>

상형문자로 작성되어 있으며, 87개의 실용적인 문제를 포함하고 있다고 합니다. 린드 파피루스의 첫 번째 부분은 참조 테이블과 21 개의 산술 및 선형방정식을 포함한 20 개의 대수 문제로 구성되어 있다고 합니다. 두 번째는 부피/면적/피라미드와 관련된 문제들이라고 합니다. 그 외 기타 부분이 있다고 합니다.

참고 : https://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus

<린드 파피루스의 내용>

린드 파피루스에 있는 내용 중 몇 가지 흥미로운 문제들을 볼까 합니다. 지금 수학과는 매우 다른 방식이지만 수학의 발달을 따라 가는 것은 사람이 어떻게 생각하는 방식을 넓혀왔는지를 알고 미래에 모르는 문제들을 해결하는 참고로 매우 훌륭한 자료가 되기도 합니다.

<이집트 수학 문제>

① 이집트의 곱셈 :  25 X 7 

• 1단계) 첫 번째 수인 25에 대해서 2의 거듭제곱 중 25를 넘지 않는 가장 큰 수를 찾는다(16). 
• 2단계) 25에서 1단계에서 찾은 16을 빼면, 9가 남는데 1단계에서 처럼 9를 넘지 않는 가장 큰 2의 거듭제곱을 찾는다(8). 
• 3단계) 2의 거듭제곱으로 찾아지지 않아, 종료되고 1이 남는다.
• 따라서, 25 = 16+8+1로 분해된다.

<참고>

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A0%EB%8C%80_%EC%9D%B4%EC%A7%91%ED%8A%B8_%EA%B3%B1%EC%85%88%EB%B2%95

25 X 7 = (16+8+1) X 7=16 X 7 + 8 X 7 + 1 X 7 = 112 + 56 + 7 

16 X 7 부분을 자세히 보기로 합니다.

16 X 7은 (2X2X2X2)X7이므로 7을 2배씩 4번하면 된다는 것을 의미합니다. 위 표를 풀어서 다시 쓰면 아래와 같습니다.

예제의 1단계에서 찾은 16에 대한 설명은 위 표에서 2번째 열과 4번째와 5번째 열로 설명하고 있는 것입니다.

② 원의 넓이 : 지름이 9인 원의 넓이? (단위는 지금과 달라 생략)

아래 출처를 보면, 매우 자세히 설명하고 있습니다.

돌 64내를 이용하여, 정사각형을 만듭니다. 동일한 돌을 이용하여 원을 구합니다. 그러면, 변의 길이가 8인 정사각형은 지름이 9인 원으로 변합니다.

이 원리를 이용하면, 지름이 9인 원의 넓이는 8 X 8 = 64가 됩니다. 물론, 지금에 비하면 정확한 값은 아닙니다. 크세스라는 사람이 찾아다고 하는데, 근사값이지만 구하기 어려운 값을 찾기 위한 아이디어는 놀랍습니다. 이집트에서 곱하기는 8X8로 하지 않았겠죠. 이집트 곱셈방법으로 했습니다. 

<출처>

https://www.moe.go.kr/boardCnts/view.do?boardID=340&boardSeq=78314&lev=0&searchType=null&statusYN=W&page=1&s=moe&m=020201&opType=N

③ 이집트의 분수

이집트에서는 단위 분수만을 사용했다고 합니다. 단위분수는 분자를 1로 하는 분수를 의미합니다. 예를 들면, 1/2, 1/3 , 1/4 등 입니다. 단위 분수가 아닌 유일한 분수는 2/3만 사용하였다고 합니다. 그렇다면, 다른 분수들은 어떻게 하였을까요? 린드 파피루스에는 분자가 2이고 분자가 5~101 수 중 홀수 인 분수에 대하여 단위 분수의 합으로 표시한 표가 가장 앞부분에 있다고 합니다. 

④ 10명에게 빵 9개를 공평하게 나눠주기

이집트의 분수에서 이야기했듯이 린드 파피루스에서는 9/10에 대하여 단위분수의 합으로 계산된 표가 제시되어 있습니다. 답은 다음과 같아요.

9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30

이 식으로 어떻게 빵을 나눠 준다는 의미일까요?

• 1단계) 빵 1개를 3등분합니다. 그러니, 총 조각은 27(=9X3)가 되겠죠. 27개 조각 중 20개는 각자에게 2개씩 10명에게 줍니다. 그럼, 남아 있는 조각은 7개입니다. 7개는 빵 1개를 3등분한 조각이니까. 빵 2개와 1/3 조각이 되는 거죠.
• 2단계) 남아 있는 7개 조각 중 6개 조각은 다시 빵 2개가 됩니다. 남은 빵 2개를 각각 5등분하여 10개 조각을 만들어서 10명에게 1/5 조각 씩 주면 남은 빵은 1/3조각만 남게 됩니다.
• 3단계) 1/3 조각을 30등분하고 각자 3조각씩 나누면 10명에게 공평하게 나눠 지게 됩니다.

⑤ 삼각비를 이용하여 피라미드의 높이 측정

피라미드의 높이를 측정하기 위하여 아래 그림과 같이 그림자를 한 변으로 하는 피라미드와 막대기에 의한 삼각형의 닮음을 이용하였다.

<출처>

file:///C:/Users/yhoan/Downloads/48_%EC%88%98%ED%95%99_%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98_%ED%95%AD%EA%B3%B5%EA%B8%B0%20%ED%98%95%EC%83%81%20%EC%84%A4%EA%B3%84(%EC%B5%9C%EA%B4%91%EC%9A%B0).pdf