3.3.3.3 Generalization of Covariant Differentiation (Moore의 17장 및 Problem 참조)
- https://physicspages.com/Moore%20Relativity.html Moore Problem 17.2 COVARIANT DERIVATIVE OF A GENERAL TENSOR”
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앞장(chapter 3.3.3.2)의 공변 미분은 Tensor Type (1,0) 혹은 Tensor Type(0,1) 경우에 해당한다. 다음은 Mixed Tensor Type(1,2)의 공변 미분을 유도한다. 동 방법은 Moore 참조
∂d(DabcAaBbCc)=(∂dDabc)AaBbCc+Dabc(∂dAa)BbCc+DabcAa(∂dBb)Cc+DabcAaBb(∂dCc) ∇d(DabcAaBbCc)=(∇dDabc)AaBbCc+Dabc(∇dAa)BbCc+DabcAa(∇dBb)Cc+DabcAaBb(∇dCc) ∇d(DabcAaBbCc)=(∇dDabc)AaBbCc+Dabc(∇dAa)BbCc+DabcAa(∇dBb)Cc+DabcAaBb(∇dCc) =(∇dDabc)AaBbCc+Dabc(∂dAa−ΓmadAm)BbCc+DabcAa(∂dBb+ΓbmdBm)Cc +DabcAaBb(∂dCc+ΓcmdCm)
∇d(DabcAaBbCc)=∂d(DabcAaBbCc) 이므로 (∇dDabc)AaBbCc+Dabc(∂dAa−ΓmadAm)BbCc+DabcAa(∂dBb+ΓbmdBm)Cc+DabcAaBb(∂dCc+ΓcmdCm) =(∂dDabc)AaBbCc+Dabc(∂dAa)BbCc+DabcAa(∂dBb)Cc+DabcAaBb(∂dCc)
(∇dDabc)AaBbCc=(∂dDabc)AaBbCc+DabcΓmadAmBbCc−DabcΓbmdAaBmCc−DabcΓcmdAaBbCm
DabcΓmadAmBbCc 항은 m→a,a→m 이면, DmbcΓamdAaBbCc
DabcΓbmdAaBmCc 항은 m→b,b→m 이면, DamcΓmbdAaBbCc.
DabcΓcmdAaBbCm 항은 m→c,c→m 이면, DabmΓmcdAaBbCc
(∇dDabc)AaBbCc=(∂dDabc)AaBbCc+DmbcΓamdAaBbCc−DamcΓmbdAaBbCc−DabmΓmcdAaBbCc ∇dDabc=∂dDabc+ΓamdDmbc−DamcΓmbd−DabmΓmcd
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공변 미분의 일반화
3.3.3.4 Christoffel Transformation
- Ryder, “Introduction to General Relativity 3.11. Some relations involving connection coefficients””
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∇cA′a=A′a;c=A′a,c−ΓbacA′b
○ A′a;c와 A′b는 Tensor인 반면, A′a,c와 Γbac는 Tensor가 아님
○ A′a;c와 A′b는 Tensor 이므로 각각 다음을 만족한다
♦ A' a ;c=∂ xd∂ x'a∂ xe∂ x'cAd ;e
♦ A'b=∂ xf∂ x'bAf
○ A′a,c=∂∂x′c(A′a)=∂∂x′c(∂xf∂x′aAf)=∂xf∂x′a∂Af∂x′c+∂2xf∂x′c∂x′aAf=∂xf∂x′a∂xd∂x′c∂Af∂xd+∂2xf∂x′c∂x′aAf =∂xf∂x′a∂xd∂x′c∂dAf+∂2xf∂x′c∂x′aAf
♦ Partial Derivative 과정과 동일하나 다음과 같이 변환함을 주의
♦ A′b=∂xf∂x′bAf에서 Af와 동일하게 하기 위하여 Aa=∂xf∂x′aAf로 공변 변환
♦ A′a;c=∂xd∂x′a∂xe∂x′cAd;e의 d가 나타나도록 ∂Af∂x′c=∂xd∂x′c∂Af∂xd=∂xd∂x′c∂dAf게 변환
○ Aa;c=Aa,c−ΓbacAb에 위에서 산출한 식들을 대입하면,
♦ ∂xd∂x′a∂xe∂x′cAd;e=∂xf∂x′a∂xd∂x′c∂dAf+∂2xf∂x′c∂x′aAf−Γbac∂xf∂x′bAf
♦ 우변에서 A Vector가 f로 일치되어 있음을 알 수 있음
♦ 공변 미분(Aa;c=Aa,c−ΓbacAb)을 이용하여 ∂dAf=Af,d를 표현하면, Af;d=Af,d−ΓefdAe 이므로 Af,d=Af;d+ΓefdAe를 위 식에 대입
∂ xd∂ x'a∂ xe∂ x'cAd ;e=∂xf∂x'a ∂xd∂x'c(Af ;d+ ΓefdAe)+∂2xf∂x'c∂x' aA f-Γbac∂ xf∂ x'bAf
=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cAf ;d+∂xf∂x'a ∂xd∂x'cΓefdAe+∂2xf∂x'c∂x' aA f-Γbac∂ xf∂ x'bAf
Γbac∂ xf∂ x'bAf=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cΓefdAe+∂2xf∂x'c∂x' aA f (∵∂ xd∂ x'a∂ xe∂ x'cAd ;e=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cAf ;d , (d→f, e→d))
By relabelling (Af Vector가 임의의 Vector이므로 label 혹은 Index를 변경 가능)
Γbac∂ xf∂ x'bAf=∂xe∂x'a ∂xd∂x'cΓfedAf+∂2xf∂x'c∂x' aA f=(∂xe∂x'a ∂xd∂x'cΓfedAf+∂2xf∂x'c∂x' a)A f
Γbac∂ xf∂ x'b=∂xe∂x'a ∂xd∂x'cΓfed+∂2xf∂x'c∂x' a
양변에 ∂x′b∂xf를 곱하면,
∴Γbac=∂x′b∂xf∂xe∂x′a∂xd∂x′cΓfed+∂x′b∂xf∂2xf∂x′c∂x′a
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∇cAa= A'a ;c= ∂cA'a+Γabc A'b
○ Aa;c와 Ab는 Tensor인 반면, Aa,c와 Γabc는 Tensor가 아님
○ Aa;c와 Ab는 Tensor 이므로 각각 다음을 만족한다
♦ A' a ;c=∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cAd ;e
♦ A' b=∂ x'b∂ xfAf
○
A'a , c=∂∂x'c(A'a )=∂∂x'c(∂x'a∂xfAf )=∂2x'a∂x'c∂xfAf +∂x'a∂xf ∂Af ∂x'c=∂2x'a∂x'c∂xfAf +∂x'a∂xf∂xd∂x'c∂Af ∂xd
=∂x'a∂xf∂xd∂x'c∂dAf +∂2x'a∂x'c∂xfAf
♦ Partial Derivative 과정과 동일하나 다음과 같이 변환함을 주의
♦ A′b=∂x′b∂xfAf에서 Af와 동일하게 하기 위하여 A′a=∂x′a∂xfAf로 반변 변환
♦ A′a;c=∂x′a∂xd∂xe∂x′cAd;e의 d가 나타나도록 ∂Af∂x′c=∂xd∂x′c∂Af∂xd=∂xd∂x′c∂dAf게 변환
○ Aa;c=Aa,c−ΓabcAb에 위에서 산출한 식들을 대입하면,
♦ ∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cAd ;e=∂x'a∂xf∂xd∂x'c∂dAf +∂2x'a∂x'c∂xfAf +Γabc∂ x'b∂ xfAf
♦ 우변에서 A Vector가 f로 일치되어 있음을 알 수 있음
♦ 공변 미분(A′a;c=A′a,c−ΓabcA′b)을 이용하여 ∂dAf=Af,d를 표현하면, Af;d=Af,d+ΓfedAe 이므로 ∂dAf=Af,d=Af;d−ΓfedAe를 위 식에 대입
∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cAd ;e=∂x'a∂xf∂xd∂x'c(Af ;d- ΓfedAe)+∂2x'a∂x'c∂xfAf +Γabc∂ x'b∂ xfAf
=∂x'a∂xf∂xd∂x'cAf ;d-∂x'a∂xf∂xd∂x'cΓfedAe+∂2x'a∂x'c∂xfAf +Γabc∂ x'b∂ xfAf
Γabc∂ x'b∂ xfAf=∂x'a∂xf∂xd∂x'cΓfedAe-∂2x'a∂x'c∂xfAf (∵∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cAd ;e=∂x'a∂xf∂xd∂x'cAf ;d , (d→f, e→d))
By relabelling (Af Vector가 임의의 Vector이므로 label 혹은 Index를 변경 가능)
Γabc∂ x'b∂ xfAf=∂x'a∂xe∂xd∂x'cΓefdAf-∂2x'a∂x'c∂xfAf =(∂x'a∂xe∂xd∂x'cΓefd-∂2x'a∂x'c∂xf)Af (e→f, f→e)
Γabc∂ x'b∂ xf=∂x'a∂xe∂xd∂x'cΓefd-∂2x'a∂x'c∂xf
양변에 ∂xf∂x′b. 를 곱하면,
∴Γabc=∂xd∂x'cΓefd-∂ xf∂ x'b∂2x'a∂x'c∂xf=∂x'a∂xe∂ xf∂ x'b∂xd∂x'cΓefd-∂ xf∂x'b∂ xe∂x'c∂2x'a∂ xe∂xf
=∂x'a∂xe∂ xf∂ x'b∂xd∂x'cΓefd-∂ xf∂x'b∂ xd∂x'c∂2x'a∂ xd∂xf
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Ryder 책 연습문제에서는 쉽게 풀린다고 하는데…. 난 왜 이렇게 힘들게? 다른 책은?