3.3.3. Covariant Differentiation and Christoffel Symbol (2) - 3.3.3.3 Generalization of Covariant Differentiation & 3.3.3.4 Christoffel Transformation

3.3.3.3 Generalization of Covariant Differentiation (Moore의 17장 및 Problem 참조)

<Reference>

• https://physicspages.com/Moore%20Relativity.html Moore Problem 17.2 COVARIANT DERIVATIVE OF A GENERAL TENSOR”

■  앞장(chapter 3.3.3.2)의 공변 미분은 Tensor Type (1,0) 혹은 Tensor Type(0,1) 경우에 해당한다. 다음은 Mixed Tensor Type(1,2)의 공변 미분을 유도한다. 동 방법은 Moore 참조

$D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c = scalar$ 이므로 ${\nabla _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right) = {\partial _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right)$가 성립

${\partial _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right) = \left( {{\partial _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\left( {{\partial _d}A_a^{}} \right)B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}\left( {{\partial _d}B_{}^b} \right)C_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}B_{}^b\left( {{\partial _d}C_{}^c} \right)$ ${\nabla _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right) = \left( {{\nabla _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\left( {{\nabla _d}A_a^{}} \right)B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}\left( {{\nabla _d}B_{}^b} \right)C_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}B_{}^b\left( {{\nabla _d}C_{}^c} \right)$ ${\nabla _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right) = \left( {{\nabla _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\left( {{\nabla _d}A_a^{}} \right)B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}\left( {{\nabla _d}B_{}^b} \right)C_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}B_{}^b\left( {{\nabla _d}C_{}^c} \right)$ $ = \left( {{\nabla _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\left( {{\partial _d}A_a^{} - \;\Gamma _{ad}^m{A_m}} \right)B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}\left( {{\partial _d}{B^b} + \Gamma _{md}^b\;{B^m}} \right)C_{}^c$ $ + D_{bc}^aA_a^{}B_{}^b\left( {{\partial _d}{C^c} + \Gamma _{md}^c\;{C^m}} \right)$

${\nabla _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right) = {\partial _d}\left( {D_{bc}^aA_a^{}B_{}^bC_{}^c} \right)$ 이므로 $\left( {{\nabla _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\left( {{\partial _d}A_a^{} - \;\Gamma _{ad}^m{A_m}} \right)B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}\left( {{\partial _d}{B^b} + \Gamma _{md}^b\;{B^m}} \right)C_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}B_{}^b\left( {{\partial _d}{C^c} + \Gamma _{md}^c\;{C^m}} \right)$ $ = \left( {{\partial _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\left( {{\partial _d}A_a^{}} \right)B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}\left( {{\partial _d}B_{}^b} \right)C_{}^c + D_{bc}^aA_a^{}B_{}^b\left( {{\partial _d}C_{}^c} \right)$

$\left( {{\nabla _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c = \left( {{\partial _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^a\Gamma _{ad}^m{A_m}B_{}^bC_{}^c - D_{bc}^a\Gamma _{md}^bA_a^{}{B^m}C_{}^c - D_{bc}^a\Gamma _{md}^cA_a^{}B_{}^b\;{C^m}$
$D_{bc}^a\Gamma _{ad}^m{A_m}B_{}^bC_{}^c\;$ 항은 $m \to a,\;a \to m$ 이면, $D_{bc}^m\Gamma _{md}^a{A_a}B_{}^bC_{}^c$
$D_{bc}^a\Gamma _{md}^bA_a^{}{B^m}C_{}^c$ 항은 $m \to b,\;b \to m$ 이면, $D_{mc}^a\Gamma _{bd}^mA_a^{}{B^b}C_{}^c$.
$D_{bc}^a\Gamma _{md}^cA_a^{}B_{}^b\;{C^m}$ 항은 $m \to c,\;c \to m$ 이면, $D_{bm}^a\Gamma _{cd}^mA_a^{}B_{}^b\;{C^c}$

$\left( {{\nabla _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c = \left( {{\partial _d}D_{bc}^a} \right)A_a^{}B_{}^bC_{}^c + D_{bc}^m\Gamma _{md}^a{A_a}B_{}^bC_{}^c - D_{mc}^a\Gamma _{bd}^mA_a^{}{B^b}C_{}^c - D_{bm}^a\Gamma _{cd}^mA_a^{}B_{}^b\;{C^c}$ ${\nabla _d}D_{bc}^a = {\partial _d}D_{bc}^a + \Gamma _{md}^aD_{bc}^m - D_{mc}^a\Gamma _{bd}^m - D_{bm}^a\Gamma _{cd}^m$

■  공변 미분의 일반화

3.3.3.4 Christoffel Transformation

<Reference>

• Ryder, “Introduction to General Relativity 3.11. Some relations involving connection coefficients””

■  ${\nabla _{\rm{c}}}{\rm{A}}{{\rm{'}}_{\rm{a}}} = {\rm{\;A'}}_{{\rm{a\;\;}};{\rm{c}}}^{} = {\rm{\;\;A'}}_{{\rm{\;a\;}},{\rm{\;c}}}^{} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\rm{ac}}}^{\bf{b}}{\rm{A}}{{\rm{'}}_{\bf{b}}}$

○ ${\rm{A'}}_{{\rm{a\;\;}};{\rm{c}}}^{}$와 ${\rm{A}}{{\rm{'}}_{\bf{b}}}$는 Tensor인 반면, ${\rm{A'}}_{{\rm{\;a\;}},{\rm{\;c}}}^{}$와 ${\rm{\Gamma }}_{{\rm{ac}}}^{\bf{b}}$는 Tensor가 아님

○ ${\rm{A'}}_{{\rm{a\;\;}};{\rm{c}}}^{}$와 ${\rm{A}}{{\rm{'}}_{\bf{b}}}$는 Tensor 이므로 각각 다음을 만족한다

♦ A a ;c' =∂ xd∂ x'a∂ xe∂ x'cAd ;e

♦ A'b=∂ xf∂ x'bAf

○ ${\rm{A'}}_{{\rm{\;a\;}},{\rm{\;c}}}^{} = \frac{\partial }{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\left( {{\rm{A'}}_{{\rm{\;a}}}^{}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\left( {\frac{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}} \right) = \frac{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{\;}}\frac{{\partial {\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}} + \frac{{{\partial ^2}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}\partial {x^{{\rm{'\;a}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{} = \frac{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{\;}}\frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\frac{{\partial {\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}}}{{\partial {x^{\bf{d}}}}} + \frac{{{\partial ^2}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}\partial {x^{{\rm{'\;a}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}{\rm{\;}}$ $ = \frac{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{\;}}\frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{} + \frac{{{\partial ^2}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}\partial {x^{{\rm{'\;a}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}$

♦ Partial Derivative 과정과 동일하나 다음과 같이 변환함을 주의

♦ ${\rm{A}}{{\rm{'}}_{\bf{b}}} = \frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}{\rm{A}}_{\bf{f}}^{}$에서 ${\rm{A}}_{\bf{f}}^{}$와 동일하게 하기 위하여 ${\rm{A}}_{{\rm{\;a}}}^{} = \frac{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}$로 공변 변환

♦ ${\rm{A}}_{{\rm{\;a\;\;}};{\rm{c}}}^{{\rm{'\;}}} = \frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{d}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'a}}}}}}\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{e}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'c}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{d\;\;}};{\rm{e}}}^{}$의 d가 나타나도록 $\frac{{\partial {\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}} = \frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\frac{{\partial {\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}}}{{\partial {x^{\bf{d}}}}} = \frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{}$게 변환

○ ${\rm{A}}_{{\rm{a\;\;}};{\rm{c}}}^{} = {\rm{\;\;A}}_{{\rm{\;a\;}},{\rm{\;c}}}^{} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\rm{ac}}}^{\bf{b}}{{\rm{A}}_{\bf{b}}}$에 위에서 산출한 식들을 대입하면,

♦ $\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{d}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'a}}}}}}\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{e}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'c}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{d\;\;}};{\rm{e}}}^{} = \frac{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{\;}}\frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{} + \frac{{{\partial ^2}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}\partial {x^{{\rm{'\;a}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{} - {\rm{\Gamma }}_{{\rm{ac}}}^{\bf{b}}\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}{\rm{A}}_{\bf{f}}^{}$

♦ 우변에서 A Vector가 f로 일치되어 있음을 알 수 있음

♦ 공변 미분(${\rm{A}}_{{\rm{a\;\;}};{\rm{c}}}^{} = {\rm{\;\;A}}_{{\rm{\;a\;}},{\rm{\;c}}}^{} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\rm{ac}}}^{\bf{b}}{{\rm{A}}_{\bf{b}}}{\rm{\;}}$)을 이용하여 $\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{{\rm{\;}}{\bf{f}}}^{} = {\rm{A}}_{{\rm{\;f\;}},{\rm{\;d}}}^{}$를 표현하면, ${\rm{A}}_{{\rm{f\;\;}};{\rm{d}}}^{} = {\rm{\;\;A}}_{{\rm{\;f\;}},{\rm{\;d}}}^{} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\rm{fd}}}^{\rm{e}}{{\rm{A}}_{\bf{e}}}$ 이므로 ${\rm{A}}_{{\rm{\;f\;}},{\rm{\;d}}}^{} = {\rm{A}}_{{\rm{f\;\;}};{\rm{d}}}^{} + {\rm{\;\Gamma }}_{{\rm{fd}}}^{\bf{e}}{{\rm{A}}_{\bf{e}}}$를 위 식에 대입
∂ xd∂ x'a∂ xe∂ x'cAd ;e=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cAf ;d+ ΓfdeAe+∂2xf∂x'c∂x' aA f-Γacb∂ xf∂ x'bAf
=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cAf ;d+∂xf∂x'a ∂xd∂x'cΓfdeAe+∂2xf∂x'c∂x' aA f-Γacb∂ xf∂ x'bAf
Γacb∂ xf∂ x'bAf=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cΓfdeAe+∂2xf∂x'c∂x' aA f ∵∂ xd∂ x'a∂ xe∂ x'cAd ;e=∂xf∂x'a ∂xd∂x'cAf ;d , (d→f, e→d)

By relabelling (${\rm{A}}_{\bf{f}}^{}$ Vector가 임의의 Vector이므로 label 혹은 Index를 변경 가능)
Γacb∂ xf∂ x'bAf=∂xe∂x'a ∂xd∂x'cΓedfAf+∂2xf∂x'c∂x' aA f=∂xe∂x'a ∂xd∂x'cΓedfAf+∂2xf∂x'c∂x' aA f
Γacb∂ xf∂ x'b=∂xe∂x'a ∂xd∂x'cΓedf+∂2xf∂x'c∂x' a
양변에 $\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}$를 곱하면,
$\therefore {\rm{\Gamma }}_{{\rm{ac}}}^{\bf{b}} = \frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}\frac{{\partial {x^{\bf{e}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{\rm{\;}}\frac{{\partial {x^{\rm{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}{\rm{\Gamma }}_{{\rm{ed}}}^{\rm{f}} + \frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}\frac{{{\partial ^2}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}\partial {x^{{\rm{'\;a}}}}}}$

■  ∇cAa= A' ;ca= ∂cA'a+Γbca A'b

○ ${\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{c}}}^{\rm{a}}$와 ${{\rm{A}}^{\rm{b}}}$는 Tensor인 반면, ${\rm{A}}_{{\rm{\;\;}},{\rm{\;c}}}^{\rm{a}}$와 ${\rm{\Gamma }}_{{\rm{bc}}}^{\rm{a}}$는 Tensor가 아님

○ ${\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{c}}}^{\rm{a}}$와 ${{\rm{A}}^{\rm{b}}}$는 Tensor 이므로 각각 다음을 만족한다

♦ A ;c' a=∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cA ;ed

♦ A' b=∂ x'b∂ xfAf

○ A' , ca=∂∂x'cA' a=∂∂x'c∂x'a∂xfA f=∂2x'a∂x'c∂xfA f+∂x'a∂xf ∂A f∂x'c=∂2x'a∂x'c∂xfA f+∂x'a∂xf∂xd∂x'c∂A f∂xd
=∂x'a∂xf∂xd∂x'c∂dA f+∂2x'a∂x'c∂xfA f

♦ Partial Derivative 과정과 동일하나 다음과 같이 변환함을 주의

♦ ${A^{{\rm{'\;}}{\bf{b}}}} = \frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}{\rm{A}}_{}^{\rm{f}}$에서 ${\rm{A}}_{}^{\bf{f}}$와 동일하게 하기 위하여 ${\rm{A'}}_{}^{\rm{a}} = \frac{{\partial {x^{{\rm{'a}}}}}}{{\partial {x^{\rm{f}}}}}{\rm{A}}_{\rm{\;}}^{\bf{f}}$로 반변 변환

♦ ${\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{c}}}^{{\rm{'\;a}}} = \frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'a}}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{d}}}}}\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{e}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'c}}}}}}{\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{e}}}^{\rm{d}}$의 d가 나타나도록 $\frac{{\partial {\rm{A}}_{\rm{\;}}^{\bf{f}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}} = \frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\frac{{\partial {\rm{A}}_{\rm{\;}}^{\bf{f}}}}{{\partial {x^{\bf{d}}}}} = \frac{{\partial {x^{\bf{d}}}}}{{\partial {x^{{\rm{'c}}}}}}\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{\rm{\;}}^{\bf{f}}$게 변환

○ ${\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{c}}}^{\rm{a}} = {\rm{\;\;A}}_{{\rm{\;\;}},{\rm{\;c}}}^{\rm{a}} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\bf{b}}{\rm{c}}}^{\rm{a}}{\rm{A}}_{}^{\bf{b}}$에 위에서 산출한 식들을 대입하면,

♦ ∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cA ;ed=∂x'a∂xf∂xd∂x'c∂dA f+∂2x'a∂x'c∂xfA f+Γbca∂ x'b∂ xfAf

♦ 우변에서 A Vector가 f로 일치되어 있음을 알 수 있음

♦ 공변 미분(${\rm{A'}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{c}}}^{\rm{a}} = {\rm{\;\;A'}}_{{\rm{\;\;}},{\rm{\;c}}}^{\rm{a}} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\bf{b}}{\rm{c}}}^{\rm{a}}{\rm{A'}}_{}^{\bf{b}}{\rm{\;}}$)을 이용하여 $\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{\rm{\;}}^{\bf{f}} = {\rm{A}}_{{\rm{\;\;}},{\rm{\;d}}}^{\rm{f}}$를 표현하면, ${\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{d}}}^{\rm{f}} = {\rm{\;\;A}}_{{\rm{\;\;}},{\rm{\;d}}}^{\rm{f}} + {\rm{\;\Gamma }}_{{\bf{e}}{\rm{d}}}^{\rm{f}}{\rm{A}}_{}^{\bf{e}}$ 이므로 $\partial _{\rm{d}}^{}{\rm{A}}_{\rm{\;}}^{\bf{f}} = {\rm{A}}_{{\rm{\;\;}},{\rm{\;d}}}^{\rm{f}} = {\rm{A}}_{{\rm{\;\;}};{\rm{d}}}^{\rm{f}} - {\rm{\;\Gamma }}_{{\bf{e}}{\rm{d}}}^{\rm{f}}{\rm{A}}_{}^{\bf{e}}$를 위 식에 대입
∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cA ;ed=∂x'a∂xf∂xd∂x'cA ;df- ΓedfAe+∂2x'a∂x'c∂xfA f+Γbca∂ x'b∂ xfAf
=∂x'a∂xf∂xd∂x'cA ;df-∂x'a∂xf∂xd∂x'cΓedfAe+∂2x'a∂x'c∂xfA f+Γbca∂ x'b∂ xfAf
Γbca∂ x'b∂ xfAf=∂x'a∂xf∂xd∂x'cΓedfAe-∂2x'a∂x'c∂xfA f ∵∂ x'a∂ xd∂ xe∂ x'cA ;ed=∂x'a∂xf∂xd∂x'cA ;df , (d→f, e→d)

By relabelling (${\rm{A}}_{\bf{f}}^{}$ Vector가 임의의 Vector이므로 label 혹은 Index를 변경 가능)
Γbca∂ x'b∂ xfAf=∂x'a∂xe∂xd∂x'cΓfdeAf-∂2x'a∂x'c∂xfA f=∂x'a∂xe∂xd∂x'cΓfde-∂2x'a∂x'c∂xfA f (e→f, f→e)
Γbca∂ x'b∂ xf=∂x'a∂xe∂xd∂x'cΓfde-∂2x'a∂x'c∂xf

양변에 $\frac{{\partial {\rm{\;}}{x^{\rm{f}}}}}{{\partial {\rm{\;}}{x^{{\rm{'b}}}}}}$. 를 곱하면,
∴Γbca=∂xd∂x'cΓfde-∂ xf∂ x'b∂2x'a∂x'c∂xf=∂x'a∂xe∂ xf∂ x'b∂xd∂x'cΓfde-∂ xf∂x'b∂ xe∂x'c∂2x'a∂ xe∂xf =∂x'a∂xe∂ xf∂ x'b∂xd∂x'cΓfde-∂ xf∂x'b∂ xd∂x'c∂2x'a∂ xd∂xf

■  Ryder 책 연습문제에서는 쉽게 풀린다고 하는데…. 난 왜 이렇게 힘들게? 다른 책은?

3.3.3. Covariant Differentiation and Christoffel Symbol (1) - 3.3.3.1 Parallel transport & 3.3.3.2 Covariant Differentiation and Affine Connection (Christoffel Symbol)

3.3.3. Covariant Differentiation(공변 미분)과 Christoffel Symbol

■  Covariant Derivative of \({{\rm{X}}^{\rm{a}}}\)

○ ∇cAa=∂cAa+ΓbcaAb 혹은 A ;ca= A , ca+ ΓbcaAb

○ ∇cAa=∂cAa-ΓacbAb 혹은 A a ;c= A a , c- ΓacbAb

■  편미분에서와 달리, 공변 벡터는 미분 결과가 Tensor가 됨. 이 때 \({\bf{\Gamma }}_{{\bf{bc}}}^{\bf{a}}\)가 도입되며 \({\bf{\Gamma }}_{{\bf{bc}}}^{\bf{a}}\)를 Christoffel Symbol 혹은 Connection Coefficient 혹은 Affine Connection이라고함

■  본 장에서는 공변 미분에 대하여 기술하며, 공변 미분에 포함되는 Christoffel Symbol의 변환(Some relations involving connection coefficients)에 대하여 기술함. 마지막으로 Christoffel Symbol은 Metric Tensor로 표현되는 것을 보임.

○ Parallel Transport

♦ 평행 이동 결과 Vector 변화량이 비유클리드 공간에서는 선형 변환되지 않아, 편미분에서와 같이 Tensor를 유지하지 못하며 이를 Tensor화 하기 위하여 Christoffel Symbol을 도입

○ Covariant Differentiation

♦ 미분에 의해서도 Tensor가 유지되는 미분을 정의

♦ 평행이동에서 도출된 식 \(\left( {\bar \delta {A^a}\left( x \right) = - \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\left( x \right)\delta {x^c}} \right)\) 을 이용하여 \({\nabla _c}{X^a} = {\partial _c}{X^a} + \Gamma _{bc}^a{X^b}\) 혹은 X ;ca= X , ca+ ΓbcaXb 유도

○ Christoffel Symbol and Metric Tensor

♦ 마지막으로 Christoffel Symbol은 Metric Tensor로 표현된다

♦ Metric Tensor를 알면, Christoffel Symbol을 알수 있어 공변 미분이 가능하게 되므로 Einstein Field Equation의 해를 풀 때, 실질적으로 매우 많이 활용됨

3.3.3.1 Parallel transport

<Reference>

• D’inverno “Introducing Einstein’s Relativity Chapter 6.3. The Affine connection and covariant differentiation”
• Ryder, “Introduction to General Relativity 3.10. Parallel transport”

■  두 가지 벡터를 도입

○ P점 벡터를 Q점으로 평행이동한 벡터 : \({{\rm{A}}^a}\left( x \right) + \bar \delta {A^a}\left( x \right)\)

○ P점 u에서 미소 변화된 Q점에서 벡터 : \({A^a}\left( {x + \delta x} \right) = {A^a}\left( x \right) + \delta {A^a}\left( x \right)\)

♦ P점에서 벡터와 차이가 \({A^a}\left( {x + \delta x} \right) - {A^a}\left( x \right) = \delta {A^a}\left( x \right)\)라고 정의

○ P점 벡터를 Q점으로 평행이동한 벡터와 P점에서 \(\delta x\) 만큼 미소 변화된 Q 점에서의 벡터 차이는 \(\delta {A^a}\left( x \right) - \bar \delta {A^a}\left( x \right)\)가 된다

■  \({x^a} + \delta {x^a}\)좌표를 가지는 Q점에서의 반변 벡터장(Contravariant vector field) \({A^{\rm{a}}}\left( x \right)\)*) 고려해 보자. 그러면, Taylor’s theorem에 의하여 \({A^a}\left( {x + \delta x} \right) = {A^a}\left( x \right) + \delta {x^b}{\partial _b}{A^a}\)

○ δxb∂bAa=δAa(x)=Aax+δx-Aax

○ 두 개의 다른 점에서의 Tensors을 차감하므로 \(\partial {A^{\rm{a}}}\)는 Tensor가 아님

○ P점에 있는 Vector \({A^{\rm{a}}}\)를 Q점으로 평행이동(Parallel transport)하면 \({A^{\rm{a}}} + {\rm{\;\bar \delta }}{A^{\rm{a}}}\)이며 \({A^{\rm{a}}}\)와 비교하면 매우 적은양(a small amount)이 다르다는 것을 의미

♦“비유클리드 공간에서도 P점과 Q점은 매우 적은 변화량이라면 유클리드 공간으로 간주한다” (이 의미가 유클리드 공간에서와 똑같다는 의미가 아니라, 선형 결합이 가능하다는 의미로 해석하는게 적절한 것으로 보임. 즉, 휘어진 공간에서 극소 변화량에도 벡터의 변화가 직선의 변화 외에 휘어진 정도를 선형 결합으로 표현가능한 것으로 해석해야 뒤에서 기술하는 평행 이동과 공변 미분, 그리고 Christoffel Symbol 에 대한 설명이 이해됨)

♦ 편미분(Partial Derivative)에서 기술한 바와 같이 좌표의 극소변화에 따른 Vector의 변환은 Tensor가 아니었다. 이와 유사하게, Q점으로 평행이동된 Vector의 극소변화인 \({\rm{\bar \delta }}{A^{\rm{a}}}\)는 Tensor가 아니다

♦ Q 점에서 \(\left( {{A^a} + \delta {A^a}} \right) - \;\left( {{A^a} + \bar \delta {A^a}} \right) = \delta {A^a} - \bar \delta {A^a}\) 관계가 성립함

○ \({A^{\rm{a}}}\left( x \right)\) 혹은 \({\rm{\delta }}{x^{\rm{a}}}\)에 대해서 \({\rm{\bar \delta }}{A^{\rm{a}}}\)항이 사라지도록 하기 위해서는 \({\rm{\bar \delta }}{A^{\rm{a}}}\)가 \({A^{\rm{a}}}\left( x \right)\) 와 \({\rm{\delta }}{x^{\rm{a}}}\) 에 대하여 선형관계로 정의하는 것이 가장 단순한 방법임

♦ \(\bar \delta {A^a}\left( x \right) = - \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\left( x \right)\delta {x^c}\)

Ryder 책(3.10장)에서는 평행이동에 대한 표현이 있는데, 좌측 아래 그림이 데카르트 좌표계에서 평행이동은 동일함을 설명하고 있으며, 만약 구면 좌표계(공간이 휘어 있다)라면 다르다고 설명하고 있음.  (중략)  'Connection Coefficient'라는 용어는 한 지점의 벡터장의 값을 다른 지점의 벤터장 값과 연결하기 때문에 발생. 그것은 공간에 의해 발생되는 추가 구조에 해당

○ Ryder에 의하면, 'Connection Coefficient'라는 용어는 한 지점의 벡터장의 값을 다른 지점의 벤터장 값과 연결하기 때문에 발생하며 그것은 공간에 의해 발생되는 추가 구조에 해당한다고 설명

♦ 결국, Christoffel Symbol은 공간 구조에 대한 정보를 담고 있다는 것을 의미. 만약, 유클리드 공간(평평한 공간)이라면 Christoffel Symbol 도입이 필요없으며 다른 휘어진 공간이라면 공간 구조 정보가 Christoffel Symbol이 담고 있어야 비 Tensor적 요소가 제거될 수 있기 때문임

■  더 자세한 수학적 표현은 3.4.1.2. Parallel Transport Condition and Affine Geodesics에서 다룬다

3.3.3.2 Covariant Differentiation and Affine Connection (Christoffel Symbol)

<Reference>

• D’inverno “Introducing Einstein’s Relativity Chapter 6.3. The Affine connection and covariant differentiation”
• Moore Problem 17.2 COVARIANT DERIVATIVE OF A GENERAL TENSOR

       https://physicspages.com/Moore%20Relativity.html

■  \({\nabla _c}{A^a} = \mathop {\lim }\limits_{\delta {x^c} \to 0} \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {{A^a}\left( {x + \delta x} \right) - \left( {{A^a}\left( x \right) + \bar \delta {A^a}\left( x \right)} \right)} \right]\)

○ Parallel Transport에서의 다음 두 식을 이용하면,

♦ \({A^a}\left( {x + \delta x} \right) = {A^a}\left( x \right) + \delta {x^b}{\partial _b}{A^a}\)

♦ \(\bar \delta {A^a}\left( x \right) = - \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\left( x \right)\delta {x^c}\)

♦ \({\nabla _c}{A^a} = \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {{A^a}\left( {x + \delta x} \right) - \left( {{A^a}\left( x \right) + \bar \delta {A^a}\left( x \right)} \right)} \right] = \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {{A^a}\left( x \right) + \delta {x^b}{\partial _b}{A^a} - {A^a}\left( x \right) + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\left( x \right)\delta {x^c}} \right]\) \( = \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {\delta {x^b}{\partial _b}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\left( x \right)\delta {x^c}} \right] = {\partial _c}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\left( x \right)\)

○\({\nabla _c}{A^a} = {\partial _c}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\) 혹은 \(A_{\;\;;c}^a = \;A_{\;\;,\;c}^a + \;\Gamma _{bc}^a{A^b}\)

○ \({\nabla _c}{A^a} = {\partial _c}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\) 혹은 \(A_{\;\;;c}^a = \;A_{\;\;,\;c}^a + \;\Gamma _{bc}^a{A^b}\)

\({\nabla _{\rm{c}}}{{\rm{A}}_{\rm{a}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\delta }}{x^{\rm{c}}} \to 0} \frac{1}{{{\rm{\delta }}{x^{\rm{c}}}}}\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{a}}}\left( {x + {\rm{\delta }}x} \right) - \left( {{{\rm{A}}_{\rm{a}}}\left( x \right) + {\rm{\bar \delta }}{{\rm{A}}_{\rm{a}}}\left( x \right)} \right)} \right]\)

○ 반변 Vector에 대해서와 동일한 방법으로 공변 Vector에 대해서 계산하면,

♦ \({A_a}\left( {x + \delta x} \right) = {A_a}\left( x \right) + \delta {x^b}{\partial _b}{A_a}\)

♦ \(\bar \delta {A_a}\left( x \right) = \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\left( x \right)\delta {x^c}\)

♦ \({\nabla _c}{A_a} = \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {{A_a}\left( {x + \delta x} \right) - \left( {{A_a}\left( x \right) + \bar \delta {A_a}\left( x \right)} \right)} \right] = \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {{A_a}\left( x \right) + \delta {x^b}{\partial _b}{A_a} - {A_a}\left( x \right) - \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\left( x \right)\delta {x^c}} \right]\) \( = \frac{1}{{\delta {x^c}}}\left[ {\delta {x^b}{\partial _b}{A_a} - \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\left( x \right)\delta {x^c}} \right] = {\partial _c}{A_a} - \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\left( x \right)\)

○ \({\nabla _c}{A_a} = \;{\partial _c}{A_a} - \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\) 혹은 \(A_{\;a\;\;;c}^{} = \;A_{\;a\;\;,\;c}^{} - \;\Gamma _{ac}^b{A_b}\)

■  공변 미분(Covariant Differentiation)

○ \({\nabla _c}{A^a} = {\partial _c}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}\) 혹은 \(A_{\;\;;c}^a = \;A_{\;\;,\;c}^a + \;\Gamma _{bc}^a{A^b}\)

○ \({\nabla _c}{A_a} = \;{\partial _c}{A_a} - \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\) 혹은 \(A_{\;a\;\;;c}^{} = \;A_{\;a\;\;,\;c}^{} - \;\Gamma _{ac}^b{A_b}\)

<\({\nabla _c}{A_a} = \;{\partial _c}{A_a} - \Gamma _{ac}^b\;{A_b}\)의 다른 유도(Moore 방법)>  \({A^a}{B_a} = scalar\) 이므로 \({A^a}{B_a}\) 은 일반적인 미분과 동일. 따라서, \({\nabla _c}\left( {{A^a}{B_a}} \right) = {\partial _c}\left( {{A^a}{B_a}} \right) = \;\left( {{\partial _c}{A^a}} \right){B_a} + {A^a}\left( {{\partial _c}{B_a}} \right)\)가 성립  \({A^a}{B_a}\)를 공변 미분하면, \({\nabla _c}\left( {{A^a}{B_a}} \right) = \;\left( {{\nabla _c}{A^a}} \right){B_a} + {A^a}\left( {{\nabla _c}{B_a}} \right) = \left( {{\partial _c}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}} \right){B_a} + {A^a}\left( {{\nabla _c}{B_a}} \right)\) 가 성립  \({\nabla _c}\left( {{A^a}{B_a}} \right) = {\partial _c}\left( {{A^a}{B_a}} \right)\)이므로 양변에 상기 두 식을 대입하면 \(\left( {{\partial _c}{A^a}} \right){B_a} + {A^a}\left( {{\partial _c}{B_a}} \right) = \left( {{\partial _c}{A^a} + \Gamma _{bc}^a\;{A^b}} \right){B_a} + {A^a}\left( {{\nabla _c}{B_a}} \right)\) \({A^a}\left( {{\partial _c}{B_a}} \right) = \Gamma _{bc}^a\;{A^b}{B_a} + {A^a}\left( {{\nabla _c}{B_a}} \right)\) \({A^a}\left( {{\nabla _c}{B_a}} \right) = {A^a}\left( {{\partial _c}{B_a}} \right) - \Gamma _{bc}^a\;{A^b}{B_a}\)  \({A^a}\left( {{\nabla _c}{B_a}} \right)\)과 \({A^a}\left( {{\partial _c}{B_a}} \right)\)의 free Index \(a\)를 b로 relabelling 하면 \({A^b}\left( {{\nabla _c}{B_b}} \right) = {A^b}\left( {{\partial _c}{B_b}} \right) - \Gamma _{bc}^a\;{A^b}{B_a}\) \({\nabla _c}{B_b} = {\partial _c}{B_b} - \Gamma _{bc}^a\;{B_a}\)

■  Symmetric Christoffel Symbol

○ Torsion Tensor = \({\rm{T}}_{{\rm{bc}}}^{\rm{a}} = {\rm{\Gamma }}_{{\rm{bc}}}^{\rm{a}} - {\rm{\Gamma }}_{{\rm{cb}}}^{\rm{a}}\)

○ 만약 \({\rm{T}}_{{\rm{bc}}}^{\rm{a}} = {\rm{\Gamma }}_{{\rm{bc}}}^{\rm{a}} - {\rm{\Gamma }}_{{\rm{cb}}}^{\rm{a}} = 0\) 이면, Symmetry임

○ Christoffel Symbol이 대칭이란 의미는 비틀림이 없다는 의미(비틀림 부재, torsion free)

○ Christoffel Symbol은 Affine Connection의 일종인데 Tensor 편미분이 Tensor가 되도록 선형으로 연결하는 기호이다

3.3. Tensor Calculus - 3.3.1. Partial Derivative of Tensor & 3.3.2. Lie Derivative

I mainly refer to the D'inverno book

<Reference>

D’inverno “Introducing Einstein’s Relativity Chapter 6.1. & 6.2”

Ryder, “Introduction to General Relativity 3.10. Parallel transport”

3.3.1. Partial Derivative of Tensor 

■  Notation : ∂bAa= ∂Aa∂xb= A , ba

○ ∂'cA'a=∂∂x' c∂x'a∂xbAb=∂xd∂x' c∂∂xd∂x' a∂xbAb=∂x'a∂xb∂xd∂x' c∂dAb+∂2x' a∂xb∂xd∂xd∂x' cAb= ∂x'a∂xb∂xd∂x' c∂dAb+∂2x' a∂xb∂x' cAb

♦ 다른 풀이 : ∂'cA'a=∂∂x' c∂x' a∂xbAb=∂2x' a∂x' c∂xbAb+∂x' a∂xb∂cAb=∂2x' a∂x' c∂xbAb+∂x' a∂xb∂xd∂x' c∂dAb

■  Tensor의 편미분은 Tensor가 아니며, 종종 Ordinary derivatives of a tensor라고도함

○ 첫 번째항은 반변 변환(contra과 공변 변환으로 Tensor 특성이 나타나는 반면,

○ \(\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}}\)가 비유클리드 공간에서 비선형 변환(non-linear transformations)이므로\({\rm{\;}}\frac{{{\partial ^2}x{'^a}}}{{\partial {x^b}\partial {x^d}}}\frac{{\partial {x^d}}}{{\partial x{'^c}}}{A^b}\)가 사라지지 않고 남으며, 두 번째 항(second term)은 \(\frac{{{\partial ^2}x{'^a}}}{{\partial {x^b}\partial {x^d}}}\)로 Tensor처럼 변환되지 않음(Non-Tensor)

○ 만약, \(\frac{\partial }{{\partial x{'^c}}}\left( {\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}}{A^b}} \right)\)에서 \(\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}}\) (Linear Transformation, )라면, \(\frac{{{\partial ^2}x{'^a}}}{{\partial {x^b}\partial {x^d}}}\frac{{\partial {x^d}}}{{\partial x{'^c}}}{A^b} = 0\)이됨 (Ryder’s Book “3.10 Parallel transport”)

3.3.2. Lie Derivative

■  n차원 좌표 중 1개 좌표만 곡선을 따라 변하고 나머지 좌표는 상수인 특수한 상황에서 도함수이다. Lie derivative라고 명시적으로 사용하진 않지만 종종 text에서 나오는 개념이다

■  Manifold에서의 각 점을 지나는 하나의 곡선을 고려해 보자. 그러면, 임의의 하나의 곡선은 \({x^a} = {x^a}\left( u \right)\). 곡선에 대한 tangent vector filed는 \({\rm{d}}{x^a}/{\rm{d}}u\)를 정의할 수 있다

○ 1개 좌표만 곡선을 따라 변하고 나머지 좌표는 상수임으로 임의의 하나의 곡선인 \({x^a} = {x^a}\left( u \right)\)를 제외한 다른 좌표에서 tangent vector field는 “0”이다

■  반대로, “0”이 아닌 tangent vector field가 주어지면 궤적을 알 수 있다.

○ Given a non-zero vector field \({{\rm{X}}^a}\left( x \right)\) defined over the manifold, then this can be used to define a congruence of curves in the manifold called the orbits or trajectories of \({{\rm{X}}^a}\)

■  그리고, 상기 두 과정은 동일하므로 \({\rm{d}}{x^a}/{\rm{d}}u = {{\rm{X}}^a}\left( {x\left( u \right)} \right)\)

q  따라서, \({\rm{d}}{x^a}/{\rm{d}}u = {{\rm{X}}^a}\left( {x\left( u \right)} \right)\)를 풀면 곡선을 도출할 수 있다

■  지금부터는 Locally 어떤 일이 발생되는가에 관심을 가진다. 매우 중요한 개념이므로 주의를 해서 읽어 보자! 뒤에서 parallel transport 혹은 local inertia 등으로 매우 중요하게 활용되는 개념이다

■  \({{\rm{X}}^a}\)를 이용하여 미분 가능한 Tensor Field \(T_{b \cdots }^{a \cdots }\left( x \right)\) 가정하자. P를 통과하는 곡선 위에 어떤 점 P(\(T_{b \cdots }^{a \cdots }\left( P \right)\))에서 텐서를 neighbouring point Q까지 drag하기 위하여 곡선들의 congruence를 이용한다. 이 Tensor를 ‘Dragged-along tensor’라고 하고 Q점에서의 Tensor와 비교해 보자

○ We can subtract the two tensors at Q and so define a derivative by some limiting process as Q tends to P. the technique for dragging involves viewing the coordinate transformation from P to Q actively, and applying it to the usual transformation law for tensors. We consider the detailed calculation in the case of a contravariant tensor field of rank 2 \(T_{}^{ab}\left( x \right)\) say.

○ Point transformation

x'a=xa+δuXax where δu is small

○ 좌표 \({x^a}\)인 P점을 좌표 \({x^a} + \delta u{X^a}\left( x \right)\)인 Q점으로 변환하며 두 점은 동일한 \({x^a} - coodinate{\rm{\;}}system\)에 있음

P→Q x'a→xa+δuXax

○ Q점은 명확하게 P를 통과하는 congruence의 곡선 위에 있다

○ \(x{{\rm{'}}^a} = {x^a} + \delta u{X^a}\left( x \right)\)를 미분하면, \(\frac{{\partial x{'^a}}}{{\partial {x^b}}} = \delta _b^a + \delta u{\partial _b}{X^a}\)

■  P점에서 Tensor Field T^ab를 Point transformation 하면

Tabx→T'ab(x')

○ the transformation ‘drags’ the tensor \({T^{ab}}\) along from P to Q

○ T'abx'=∂x'a∂xc∂x'b∂xdTcdx=δca+δu∂cXaδdb+δu∂dXbTcdx =Tabx+∂cXaTcbx+∂dXbTadx δu+O(δu2)

○ Tabx'=Tabxc+δuXcx=Tabx+δuXc∂cTabx ∵Tayler theorem

■  Lie Derivative of \({T^{ab}}\) with respect \({X^a}\)

LXTab=limδu→0⁡Tabx'-T'abx'δu limδu→0⁡Tabx'-T'abx'δu=limδu→0⁡Tabx+δuXc∂cTabx-Tabx-∂cXaTcbx+∂dXbTadx δuδu =Xc∂cTab-Tcb∂cXa-Tad∂dXb =Xc∂cTab-Tcb∂cXa-Tac∂cXb

■  It can be shown that it is a always possible to introduce a coordinate system, such that the curve passing through P is given by \({x^1}\) varying, with \({x^2},{x^3}, \cdots ,{x^n}\) all constant along the curve, and such that Xa≛δ1a=(1,0,0,⋯,0) along this curve.

○ Notation ≛ means that the equation holds only in a particular coordinate system.

X=Xa∂a≛∂1, LXTab≛∂1Tab

○ Lie Differentiation은 상미분으로 변환시켜준다

■  Property of Lie derivative

○ Linear : LXλ Ya+μ Za=λ LXYa+μ LXZa

○ Leibniz : LX YaZbc=YaLXZbc +LXYaZbc

○ Type-preserving : the Lie derivative of a tensor of type (p,q) is again a tensor of type (p,q)

○ It commutes with contraction : δbaLXT ba=LXT aa

○ Lie derivative of a scalar field \(\phi \) : LX ϕ=Xϕ=Xa∂aϕ

○ The Lie derivative of a contravariant vector field \({Y^a}\) is given by the Lie bracket of X and Y :

LXYa=[X,Y]a=Xb∂bYa-Yb∂bXa

○ The Lie derivative of a covariant vector field \({Y_a}\) is given by the Lie bracket of X and Y

LXYa=Xb∂bYa-Yb∂aXb

○ The Lie derivative of a general tensor field \(T_{b \cdots }^{a \cdots }\)

LXTb⋯a⋯=Xc∂cTb⋯a⋯-Tb⋯c⋯∂cXa-⋯+Tc⋯a⋯∂bXc+⋯