동서양 고대 수학(1) - 서양(린드 파피루스)

세계 4대 문명(이집트 문명, 바빌로니아 문명, 인더스 문명, 황화 문명)은 수학이 발달하였습니다. 여기서는 대표적으로 서양과 동양의 수학인 이집트 “린드 파피루스”와 중국의 “구장산술”에 대한 내용을 볼까 합니다. 먼저, 린드 파피루스에 있는 문제들 중 몇 가지를 보기로 하겠습니다.

<린드 파피루스>

린드 파피루스는 고대 이집트의 수학지식을 적어놓은 길이 5.5m 폭 0.33m의 두루마리라고 합니다. 종이가 나오기 전에 서양에서 파피루스라는 것을 사용했다고 합니다. 린드 파피루스는 아메스라는 사람에 의해서 작성되었고, 수학에 관한 내용과 함께 기존에 있던 파피루스를 보고 베낀 것’이라는 내용이 적혀 있다고 합니다. 린드 파피루스는 기원전 1650년 경에 작성된 것으로 추정하고 있으니 그 이전부터 이집트는 수학이 발달되었다는 것을 짐작할 수 있습니다.

<린드 파피루스의 구성>

상형문자로 작성되어 있으며, 87개의 실용적인 문제를 포함하고 있다고 합니다. 린드 파피루스의 첫 번째 부분은 참조 테이블과 21 개의 산술 및 선형방정식을 포함한 20 개의 대수 문제로 구성되어 있다고 합니다. 두 번째는 부피/면적/피라미드와 관련된 문제들이라고 합니다. 그 외 기타 부분이 있다고 합니다.

참고 : https://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus

<린드 파피루스의 내용>

린드 파피루스에 있는 내용 중 몇 가지 흥미로운 문제들을 볼까 합니다. 지금 수학과는 매우 다른 방식이지만 수학의 발달을 따라 가는 것은 사람이 어떻게 생각하는 방식을 넓혀왔는지를 알고 미래에 모르는 문제들을 해결하는 참고로 매우 훌륭한 자료가 되기도 합니다.

<이집트 수학 문제>

① 이집트의 곱셈 :  25 X 7 

• 1단계) 첫 번째 수인 25에 대해서 2의 거듭제곱 중 25를 넘지 않는 가장 큰 수를 찾는다(16). 
• 2단계) 25에서 1단계에서 찾은 16을 빼면, 9가 남는데 1단계에서 처럼 9를 넘지 않는 가장 큰 2의 거듭제곱을 찾는다(8). 
• 3단계) 2의 거듭제곱으로 찾아지지 않아, 종료되고 1이 남는다.
• 따라서, 25 = 16+8+1로 분해된다.

<참고>

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A0%EB%8C%80_%EC%9D%B4%EC%A7%91%ED%8A%B8_%EA%B3%B1%EC%85%88%EB%B2%95

25 X 7 = (16+8+1) X 7=16 X 7 + 8 X 7 + 1 X 7 = 112 + 56 + 7 

16 X 7 부분을 자세히 보기로 합니다.

16 X 7은 (2X2X2X2)X7이므로 7을 2배씩 4번하면 된다는 것을 의미합니다. 위 표를 풀어서 다시 쓰면 아래와 같습니다.

예제의 1단계에서 찾은 16에 대한 설명은 위 표에서 2번째 열과 4번째와 5번째 열로 설명하고 있는 것입니다.

② 원의 넓이 : 지름이 9인 원의 넓이? (단위는 지금과 달라 생략)

아래 출처를 보면, 매우 자세히 설명하고 있습니다.

돌 64내를 이용하여, 정사각형을 만듭니다. 동일한 돌을 이용하여 원을 구합니다. 그러면, 변의 길이가 8인 정사각형은 지름이 9인 원으로 변합니다.

이 원리를 이용하면, 지름이 9인 원의 넓이는 8 X 8 = 64가 됩니다. 물론, 지금에 비하면 정확한 값은 아닙니다. 크세스라는 사람이 찾아다고 하는데, 근사값이지만 구하기 어려운 값을 찾기 위한 아이디어는 놀랍습니다. 이집트에서 곱하기는 8X8로 하지 않았겠죠. 이집트 곱셈방법으로 했습니다. 

<출처>

https://www.moe.go.kr/boardCnts/view.do?boardID=340&boardSeq=78314&lev=0&searchType=null&statusYN=W&page=1&s=moe&m=020201&opType=N

③ 이집트의 분수

이집트에서는 단위 분수만을 사용했다고 합니다. 단위분수는 분자를 1로 하는 분수를 의미합니다. 예를 들면, 1/2, 1/3 , 1/4 등 입니다. 단위 분수가 아닌 유일한 분수는 2/3만 사용하였다고 합니다. 그렇다면, 다른 분수들은 어떻게 하였을까요? 린드 파피루스에는 분자가 2이고 분자가 5~101 수 중 홀수 인 분수에 대하여 단위 분수의 합으로 표시한 표가 가장 앞부분에 있다고 합니다. 

④ 10명에게 빵 9개를 공평하게 나눠주기

이집트의 분수에서 이야기했듯이 린드 파피루스에서는 9/10에 대하여 단위분수의 합으로 계산된 표가 제시되어 있습니다. 답은 다음과 같아요.

9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30

이 식으로 어떻게 빵을 나눠 준다는 의미일까요?

• 1단계) 빵 1개를 3등분합니다. 그러니, 총 조각은 27(=9X3)가 되겠죠. 27개 조각 중 20개는 각자에게 2개씩 10명에게 줍니다. 그럼, 남아 있는 조각은 7개입니다. 7개는 빵 1개를 3등분한 조각이니까. 빵 2개와 1/3 조각이 되는 거죠.
• 2단계) 남아 있는 7개 조각 중 6개 조각은 다시 빵 2개가 됩니다. 남은 빵 2개를 각각 5등분하여 10개 조각을 만들어서 10명에게 1/5 조각 씩 주면 남은 빵은 1/3조각만 남게 됩니다.
• 3단계) 1/3 조각을 30등분하고 각자 3조각씩 나누면 10명에게 공평하게 나눠 지게 됩니다.

⑤ 삼각비를 이용하여 피라미드의 높이 측정

피라미드의 높이를 측정하기 위하여 아래 그림과 같이 그림자를 한 변으로 하는 피라미드와 막대기에 의한 삼각형의 닮음을 이용하였다.

<출처>

file:///C:/Users/yhoan/Downloads/48_%EC%88%98%ED%95%99_%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98_%ED%95%AD%EA%B3%B5%EA%B8%B0%20%ED%98%95%EC%83%81%20%EC%84%A4%EA%B3%84(%EC%B5%9C%EA%B4%91%EC%9A%B0).pdf