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2021년 11월 27일 토요일

3.3.3. Covariant Differentiation and Christoffel Symbol (2) - 3.3.3.3 Generalization of Covariant Differentiation & 3.3.3.4 Christoffel Transformation


3.3.3.3 Generalization of Covariant Differentiation (Moore의 17장 및 Problem 참조)

<Reference>
  • https://physicspages.com/Moore%20Relativity.html Moore Problem 17.2 COVARIANT DERIVATIVE OF A GENERAL TENSOR”

  앞장(chapter 3.3.3.2)의 공변 미분은 Tensor Type (1,0) 혹은 Tensor Type(0,1) 경우에 해당한다. 다음은 Mixed Tensor Type(1,2)의 공변 미분을 유도한다. 동 방법은 Moore 참조


DabcAaBbCc=scalar 이므로 d(DabcAaBbCc)=d(DabcAaBbCc)가 성립

d(DabcAaBbCc)=(dDabc)AaBbCc+Dabc(dAa)BbCc+DabcAa(dBb)Cc+DabcAaBb(dCc) d(DabcAaBbCc)=(dDabc)AaBbCc+Dabc(dAa)BbCc+DabcAa(dBb)Cc+DabcAaBb(dCc) d(DabcAaBbCc)=(dDabc)AaBbCc+Dabc(dAa)BbCc+DabcAa(dBb)Cc+DabcAaBb(dCc) =(dDabc)AaBbCc+Dabc(dAaΓmadAm)BbCc+DabcAa(dBb+ΓbmdBm)Cc +DabcAaBb(dCc+ΓcmdCm)

d(DabcAaBbCc)=d(DabcAaBbCc) 이므로 (dDabc)AaBbCc+Dabc(dAaΓmadAm)BbCc+DabcAa(dBb+ΓbmdBm)Cc+DabcAaBb(dCc+ΓcmdCm) =(dDabc)AaBbCc+Dabc(dAa)BbCc+DabcAa(dBb)Cc+DabcAaBb(dCc)

(dDabc)AaBbCc=(dDabc)AaBbCc+DabcΓmadAmBbCcDabcΓbmdAaBmCcDabcΓcmdAaBbCm
DabcΓmadAmBbCc 항은 ma,am 이면, DmbcΓamdAaBbCc
DabcΓbmdAaBmCc 항은 mb,bm 이면, DamcΓmbdAaBbCc.
DabcΓcmdAaBbCm 항은 mc,cm 이면, DabmΓmcdAaBbCc

(dDabc)AaBbCc=(dDabc)AaBbCc+DmbcΓamdAaBbCcDamcΓmbdAaBbCcDabmΓmcdAaBbCc dDabc=dDabc+ΓamdDmbcDamcΓmbdDabmΓmcd

  공변 미분의 일반화















3.3.3.4 Christoffel Transformation


<Reference>
  • Ryder, “Introduction to General Relativity 3.11. Some relations involving connection coefficients””

  cAa=Aa;c=Aa,cΓbacAb

Aa;cAb는 Tensor인 반면, Aa,cΓbac는 Tensor가 아님

Aa;cAb는 Tensor 이므로 각각 다음을 만족한다

 A'  a  ;c= xd x'a xe x'cAd  ;e

 A'b= xf x'bAf

Aa,c=xc(Aa)=xc(xfxaAf)=xfxaAfxc+2xfxcxaAf=xfxaxdxcAfxd+2xfxcxaAf =xfxaxdxcdAf+2xfxcxaAf

 Partial Derivative 과정과 동일하나 다음과 같이 변환함을 주의

 Ab=xfxbAf에서 Af와 동일하게 하기 위하여 Aa=xfxaAf로 공변 변환

 Aa;c=xdxaxexcAd;e의 d가 나타나도록 Afxc=xdxcAfxd=xdxcdAf게 변환

Aa;c=Aa,cΓbacAb에 위에서 산출한 식들을 대입하면,

 xdxaxexcAd;e=xfxaxdxcdAf+2xfxcxaAfΓbacxfxbAf

 우변에서 A Vector가 f로 일치되어 있음을 알 수 있음

 공변 미분(Aa;c=Aa,cΓbacAb)을 이용하여 dAf=Af,d를 표현하면, Af;d=Af,dΓefdAe 이므로 Af,d=Af;d+ΓefdAe를 위 식에 대입
 xd x'a xe x'cAd  ;e=xfx'a xdx'c(Af  ;d+ ΓefdAe)+2xfx'cx' aA f-Γbac xf x'bAf
=xfx'a xdx'cAf  ;d+xfx'a xdx'cΓefdAe+2xfx'cx' aA f-Γbac xf x'bAf
Γbac xf x'bAf=xfx'a xdx'cΓefdAe+2xfx'cx' aA f  ( xd x'a xe x'cAd  ;e=xfx'a xdx'cAf  ;d , (df, ed))

By relabelling (Af Vector가 임의의 Vector이므로 label 혹은 Index를 변경 가능)
Γbac xf x'bAf=xex'a xdx'cΓfedAf+2xfx'cx' aA f=(xex'a xdx'cΓfedAf+2xfx'cx' a)A f
Γbac xf x'b=xex'a xdx'cΓfed+2xfx'cx' a
양변에 xbxf를 곱하면,
Γbac=xbxfxexaxdxcΓfed+xbxf2xfxcxa

  cAa= A'a  ;c= cA'a+Γabc A'b

Aa;cAb는 Tensor인 반면, Aa,cΓabc는 Tensor가 아님

Aa;cAb는 Tensor 이므로 각각 다음을 만족한다

 A' a  ;c= x'a xd xe x'cAd  ;e

 A' b= x'b xfAf

A'a  , c=x'c(A'a )=x'c(x'axfAf )=2x'ax'cxfAf +x'axf Af x'c=2x'ax'cxfAf +x'axfxdx'cAf xd
=x'axfxdx'cdAf +2x'ax'cxfAf 

 Partial Derivative 과정과 동일하나 다음과 같이 변환함을 주의

 Ab=xbxfAf에서 Af와 동일하게 하기 위하여 Aa=xaxfAf로 반변 변환

 Aa;c=xaxdxexcAd;e의 d가 나타나도록 Afxc=xdxcAfxd=xdxcdAf게 변환

Aa;c=Aa,cΓabcAb에 위에서 산출한 식들을 대입하면,

  x'a xd xe x'cAd  ;e=x'axfxdx'cdAf +2x'ax'cxfAf +Γabc x'b xfAf

 우변에서 A Vector가 f로 일치되어 있음을 알 수 있음

 공변 미분(Aa;c=Aa,cΓabcAb)을 이용하여 dAf=Af,d를 표현하면, Af;d=Af,d+ΓfedAe 이므로 dAf=Af,d=Af;dΓfedAe를 위 식에 대입
 x'a xd xe x'cAd  ;e=x'axfxdx'c(Af  ;d- ΓfedAe)+2x'ax'cxfAf +Γabc x'b xfAf
=x'axfxdx'cAf  ;d-x'axfxdx'cΓfedAe+2x'ax'cxfAf +Γabc x'b xfAf
Γabc x'b xfAf=x'axfxdx'cΓfedAe-2x'ax'cxfAf   ( x'a xd xe x'cAd  ;e=x'axfxdx'cAf  ;d , (df, ed))

By relabelling (Af Vector가 임의의 Vector이므로 label 혹은 Index를 변경 가능)
Γabc x'b xfAf=x'axexdx'cΓefdAf-2x'ax'cxfAf =(x'axexdx'cΓefd-2x'ax'cxf)Af      (ef, fe)
Γabc x'b xf=x'axexdx'cΓefd-2x'ax'cxf

양변에 xfxb. 를 곱하면,
Γabc=xdx'cΓefd- xf x'b2x'ax'cxf=x'axe xf x'bxdx'cΓefd- xfx'b xex'c2x'a xexf =x'axe xf x'bxdx'cΓefd- xfx'b xdx'c2x'a xdxf


  Ryder 책 연습문제에서는 쉽게 풀린다고 하는데…. 난 왜 이렇게 힘들게? 다른 책은?

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