인물로 보는 고대 수학(2) - 제논의 역설과 무한

고대 그리스 철학자 제논이 제시한 여러 문제들 중  하나를 소개합니다. 이 문제들은 최초로 무한과 관련된 내용이며 “제논의 역설＂이라고 합니다. 제논의 역설은 무한에 대한 개념이 정립되는 19세기에 와서야 비로서 논리적으로 반박 이가능하게 되는데, 그 중 한 문제를 소개하면

< 아킬레스와 거북이 경주 문제 >

아킬레스가 거북이보다 10배 빨리 달릴 수 있다고 가정하고, 거북이를 아킬레스보다 100m 앞에서 출발시킨다. 아킬레스가 100m를 달려가면 거북이는 10m를 가고, 따라잡기 위해 아킬레스가 10m를 가면 그동안 거북이는 1m를 나아간다. 아킬레스가 거북이를 따라잡기 위해 달린다 하여도 그 시간동안 거북이는 움직이므로 아킬레스는 영원히 거북이를 따라잡을 수 없다.

< 무한대와 무한소 >

그렇다면, “무한”을 어떻게 이해할 것인가?

무한은 무한대와 무한소 두 종류가 있습니다.

무한대는 “무한히 많다” 혹은 “무한히 크다＂라는 의미인데,  “셀 수 없을 만큼 많다“ 혹은 “크기를 젤 수 없을 만큼 크다＂라고 이해하면 상대적으로 이해가 쉽습니다.

(추상적 개념임을 잊지 말자!)

무한소는 “매우 작다”는 의미인데 "셀 수 없을 만큼 작다"는 말이 되지 않기 때문에 크기만 의미한다고 생각하면 된다. 즉, “크기가 0에 가까울 만큼 작지만 “0”은 아니다.”라고 이해하면 상대적으로 쉽습니다.

예를 보면 이해가 쉬운데, 0~1인 선을 생각해 보자구요!

크기가 1인 선을 자르는데, 무한히 쪼개면 크기가 어떻게 될까요?

< 무한과 극한 >

극한은 고등학교에서 배우는 내용으로 이해가 되지 않아도, 이런게 있구나 하는 정도로 알고 있어도 됩니다.

< 아킬레스와 거북이 경주 >

이 문제를 처음보면, 뭔가 틀린거 같기는 한데 뭐라고 꼭 짚어서 이것 때문에 틀렸다라고 말하기가 어렵다는 것을 느낍니다. 인터넷에 많은 블로그에서는 무한등비급수로 이를 해석하는데 사실 이것도 내용이 고등학생이나 되어야 이해가 될 수 있는 내용입니다.  그럼에도 불구하고 가능한 나름대로(?) 쉽게 풀어보도록 하겠습니다.

언뜻보면, “영원히”이라는 단어 때문에 시간이 영원한 것처럼 보입니다. 그런데, 실제로는 시간이 영원한 것이 아닙니다. 시간을 계산보면 금방 알 수 있습니다. 그럼 이제 시간을 한번 계산해 볼까요?

시간을 계산해 볼려면, 아킬레스가 얼마나 빨리 달리는지를 알면 됩니다.

아킬레스의 달리기 실력을 알면, 아킬레스가 거북이보다 10배 빠르기 때문에 거북이의 달리기 실력도 알 수 있습니다.

아킬레스가 100m를 10초에 달린다고 하면, 거북이는 10초에 10m를 달릴 수 있다는 것을 의미합니다.

그럼, 문제에서 처럼 아킬레스가 거북이가 있었던 자리까지 달리고 그 동안 거북이는 또 더 나아가고를 반복을 해보세요. 

위 그림에 왼쪽에 시간을 표시하고 무한을 ∞로 표시했습니다. 아킬레스가 거북이에 가까이 갈수록 시간이 점점 줄어드는 것을 알 수 있습니다. 

시간을 나열해 보면, 10초, 1초, 1/10초, 1/100초, …, 1/10000000000000000초,… 1/n 초,… 됩니다. 이와 같이 아킬레스가 거북이에게 다가가고 그 동안 거북이가 더 나아가는 것을 무한히 반복하면, n이 무한대가 된다고 합니다. 그럼, 어떻게 될까요? 점점 더 “0”초에 가깝게 된다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 어느 순간 시간이 정지한 것과 같은 상황이 된다는 것을 의미합니다. 시간이 정지했는데 아킬레스가 거북이를 이길 수 있을까요?

다시 말하면, 아킬레스가 거북이에 가까워질수록 시간이 흐르지 않게 된다는 의미하고 이것은 아킬레스가 거북이를 만나는 순간에 걸리는 시간은 "0"에 매우 가깝게 됩니다.

따라서, “아킬레스와 거북이 경주“ 문제는 아킬레스가 거북이와 만나는데 걸리는데 시간이 얼마나 걸리는지를 묻는 문제와 다르지 않습니다. 

11.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111… 초면 아킬레스가 거북에 가장 가까워지고 0.01초가 더 지나면 아킬레스가 거북이를 이기게 됩니다.

즉, 제논의 문제는 아킬레스가 거북이에 가까이 가는 행동을 무한히 반복해서 언제 아킬레스가 거북이를 만나는지에 대한 문제이지 아킬레스가 거북이를 이기는지 여부의 문제가 아닙니다.

<수열과 급수, 그리고 무한 (어려우면 보지 않아도 돼요)>

이 부분은 어려우므로 보지않아도 됩니다. 고등학교에서 배우는 내용이므로 이렇게 있구나 하는 정도로만 보고 지나쳐도 됩니다.