인물로 보는 고대 수학(1) - 피타고라스와 무리수

기원전 570년 ~ 기원전 495년에 살았던 인물로 피타고라스에 대한 기록들은 그의 사후에 작정되었던 것으로 신뢰할 수 있는 정보가 드물다고 합니다. 피타고라스는 그를 따르는 사람들이 많아 학파를 이루었는데 그 학파를 “피타고라스 학파”라고 합니다. 피타고라스 학파는 종교집단과 같아서 신비주의 집단이었다고 합니다. 학파 사람들끼리 알게 된 내용을 함부로 외부에 알리지 못하게 하였기 때문에 피타고라스의 업적이 피타고라스가 한 것인지 그의 제자가 한 것인지 명확히 알 수가 없다고 합니다. 피타고라스 학파의 업적 중 우리에게 가장 많이 알려져 있는 것은 피타고라스의 정리입니다.

<피타고라스 정리>

피타고라스 정리는 직각삼각형 세변의 길이의 관계를 나타내는 수식입니다. 피타고라스는 증명을 길가에 깔려있는 타일을 보고 했다고 합니다. (피타고라스가 만들지 않았다는 주장도 있습니다.)

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 1) 유클리드의 증명, 2) 삼각형의 닮은꼴을 이용한 증명, 3) 대수적 증명, 4) 가필드의 증명 외에 매우 많습니다. 이와 같이 여러 증명 중 가장 쉬운 증명을 하나 소개하겠습니다(삼각형의 닯음꼴을 이용하는 방법을 소개).

<참조>

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

http://weteacher.net/math/theorem/Pythagoras.htm

<피타고라스 음계>

피타고라스 정리 외에도 음악에도 관심이 많았나 봅니다. 현의 길이가 정수비를 가질 때 소리가 아름답다는 것을 발견하고 “피타고라스 음계”라는 것을 만들었다고 합니다. 음악적인 의미는 잘 모르겠지만 수학적인 의미에서 중요한 것은 정수비입니다. 이걸 조금 다르게 표현하면 정수로 이루어진 분수가 됩니다. 만물의 근원을 수로 생각하는 피타고라스 학파에게는 아름다운 조화를 만들어내는 정수비는 매우 중요한 것입니다.

<참조>

https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=forfriend5&logNo=220465941351&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F

<히파수스의 무리수 발견>

무리수란 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수입니다. 느낌이 오시나요? “피타고라스 음계”에서 이야기 한 것처럼 정수비(=분수)가 아닌 수가 무리수입니다. 정수비(=분수)로 나타내는 수는 유리수이고 영어로 rational number입니다. 무리수는 영어로 irrational number입니다. ‘ir”이 더 있는데 유리수가 아닌 수란 의미죠. 이 무리수를 발견한 사람이 피타고라스 학파의 일원인 히파수스라는 사람입니다. 히파수스는 피타고라스 정리에 1을 대입한 후, 제곱해서 2가되는 수를 찾아 봤습니다. 그런데, 정수비로는 이런 수가 존재하지 않는 다는 것을 알게 됩니다(\({1^2} + {1^2} = 2 = {x^2},\;x = ?\)). 종교집단인 피타고라스 학파에서는 정수비가 아닌 수가 존재한다는 것을 받아 들일 수가 없었나 봅니다. 결국, 무리수의 존재를 이야기한 히파수스는 동료들에게 쫓기다 절벽에 떨어져 죽었다고 합니다. 피타고라스 학파의 일원인 히파수스가 자기의 스승이 만든 피타고라스 정리를 이용하여 무리수를 발견하고 자신의 동료들에게 죽임을 당했다고 하니 아이러니한 거 같습니다.