독학 아재의 물리 이야기: 2020

2020년 9월 10일 목요일

(The Limits of Classical Physics-2) Derivation of Planck’s Formula (Gasiorowicz chapter 1)

< Quotation >  Robert Eisberg, Robert Resnick, “Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles”, 1.3. LASSICAL THEORY OF CAVITY RADIATION

■ Planck realized that, in the circumstances that prevail for the case of blackbody radiation, the average energy of the standing waves is a function of frequency having the properties indicated by

\bar{ℇ} \underset{v \to 0}{\to} k T a n d \bar{ℇ} \underset{v \to \infty}{\to} 0

○ This is in contrast to the law of equipartition of energy which assigns to the average energy $\bar{ℇ}$ a value independent of frequency.

■ Let us look at the origin of the equipartition law. It arises, basically, from a more comprehensive result of classical statistical mechanics called the Boltzmann distribution. Here we shall use a special form of the Boltzmann distribution

P (ℇ) = \frac{e^{- ℇ / k T}}{k T}

Such an abrupt change in potential is In which P(ℇ)dℇ is the probability of finding a given entity of a system with energy in the interval between ℇ and ℇ+dℇ, when the number of energy states for the entity in that interval is independent of ℇ.

\bar{ℇ} = \frac{\int_{0}^{\infty} ℇ P (ℇ) d ℇ}{\int_{0}^{\infty} P (ℇ) d ℇ}

Such an abrupt change in potential is The integrand in the numerator is the energy, ℇ, weighted by the probability that the entity will be found with this energy. The integral in the numerator can be evaluated, and the result is just the law of equipartition of energy

\bar{ℇ} = k T

■ Planck's great contribution came when he realized that he could obtain the required cutoff, indicated in $\bar{ℇ} \underset{v \to \infty}{\to} 0$ , if he modified the calculation leading from Pℇ to by treating the energy ℇ as if it were a discrete variable instead of as the continuous variable that it definitely is from the point of view of classical physics. Quantitatively, this can be done by rewriting $\bar{ℇ} = \int_{0}^{\infty} ℇ P (ℇ) d ℇ / \int_{0}^{\infty} P (ℇ) d ℇ$ in terms of a sum instead of an integral.

○ Planck assumed that the energy ℇ could take on only certain discrete values, rather than any value, and that the discrete values of the energy were uniformly distributed; that is, he took

ℇ = 0, ∆ ℇ, 2 ∆ ℇ, 3 ∆ ℇ, 4 ∆ ℇ \dots

Such an abrupt change in potential is as the set of allowed values of the energy. Here ∆ℇ is the uniform interval between successive allowed values of the energy

○ Recapitulating, Planck discovered that he could obtain $\bar{ℇ} ≃ k T$ when the difference in adjacent energies ∆ℇ is small, and $\bar{ℇ} ≃ 0$ when∆ℇ is large. Since he needed to obtain the first result for small values of the frequency $v$,and the second result for large values of $v$, he clearly needed to make ∆ℇ an increasing function of $v$. Numerical work showed him that he could take the simplest possible relation between ∆ℇ and $v$ having this property. That is, he assumed these quantities to be proportional

∆ ℇ \propto v

Such an abrupt change in potential is Written as an equation instead of a proportionality, this is

∆ ℇ = h v

where h is the proportionality constant

○ The formula Planck obtained for ℇ ̅ by evaluating the summation analogous to the integral in $\bar{ℇ} = \int_{0}^{\infty} ℇ P (ℇ) d ℇ / \int_{0}^{\infty} P (ℇ) d ℇ$

\bar{ℇ} (v) = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} ℇ P (ℇ)}{\sum_{n = 0}^{\infty} P (ℇ)} = \frac{h v}{e^{h v / k T} - 1}

Sums must be used because with Planck's postulate the energy ℇ becomes a discrete variable that takes on only the values ℇ=0,hv,2hv,3hv,⋯. That is, ℇ=nhv where n=0,1,2,3,⋯

\bar{ℇ} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} ℇ P (ℇ)}{\sum_{n = 0}^{\infty} P (ℇ)} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ℇ}{k T} e^{- ℇ / k T}}{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{k T} e^{- ℇ / k T}} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n h v}{k T} e^{- n h v / k T}}{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{k T} e^{- n h v / k T}} (∵ P (ℇ) = \frac{e^{- ℇ / k T}}{k T} = \frac{e^{- n h v / k T}}{k T})

= k T \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} n α e^{- n α}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α}} w h e r e α = \frac{h v}{k T}

∵ - α \frac{d}{d α} l n \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α} = \frac{- α \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α}} = \frac{- \sum_{n = 0}^{\infty} α \frac{d}{d α} e^{- n α}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α}} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} n α e^{- n α}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α}}

\bar{ℇ} = k T (- α \frac{d}{d α} l n \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α}) = - h v \frac{d}{d α} l n \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α} (∵ α = \frac{h v}{k T})

\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α} = 1 + e^{- α} + e^{- 2 α} + e^{- 3 α} + \dots = 1 + X + X^{2} + X^{3} + \dots w h e r e X = e^{- α}

{(1 - X)}^{- 1} = 1 + X + X^{2} + X^{3} + \dots

\bar{ℇ} = - h v \frac{d}{d α} l n \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n α} = - h v \frac{d}{d α} l n {(1 - e^{- α})}^{- 1}

= \frac{- h v}{{(1 - e^{- α})}^{- 1}} (- 1) {(1 - e^{- α})}^{- 2} e^{- α} = \frac{h v e^{- α}}{1 - e^{- α}} = \frac{h v}{e^{α} - 1} = \frac{h v}{e^{\frac{h v}{k T}} - 1}

∴ u (υ, T) d υ = \bar{ℇ} ∙ 2 ∙ \frac{d e g r e e o f f e e d o m}{V} d υ = \frac{h v}{e^{\frac{h v}{k T}} - 1} ∙ 8 π \frac{υ^{2}}{c^{3}} d υ

u (λ, T) d λ = \frac{h}{e^{\frac{h c}{λ k T}} - 1} ∙ \frac{c}{λ} ∙ 8 π \frac{{(\frac{c}{λ})}^{2}}{c^{3}} (- \frac{c}{λ^{2}}) d λ = \frac{8 π h c}{λ^{5}} \frac{d λ}{e^{\frac{h c}{λ k T}} - 1} (∵ v = \frac{c}{λ})

(The Limits of Classical Physics-1) Classical Derivation of Rayleigh-Jeans Formula (Gasiorowicz chapter 1)

< Reference >  I referred to Professor Joon-Gon Choi's lecture on quantum mechanics 1 at Korea University. https://www.youtube.com/watch?v=kIA9mleY0AI&list=PLIoJAwnfA7S8dYxnS_78q4VbOLZuBeZHK  Robert Eisberg, Robert Resnick, “Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles”, 1.3. LASSICAL THEORY OF CAVITY RADIATION

■ Theoretical research in the field of thermal radiation began in 1859 with the work of Kirchhoff, who showed that for a given λ, the ratio of the emissive power E to the absorptivity A, defined as the fraction of incident radiation of wavelength λ that is absorbed by the body, is the same for all bodies. Kirchhoff considered two emitting and absorbing parallel plates and showed from the equilibrium condition that the energy emitted was equal to the energy absorbed (for each λ), that the ratio E/A must be the same for the two plates. Soon thereafter, he observed that for a black body, defined as a surface that totally absorbs all radiation that falls on it, so that A=1, the function $E\left( {\lambda ,T} \right)$ is a universal function.

○ The energy from the outside of the blackbody is measured in proportion to the amount of energy from the inside of the blackbody through the hole dA of the blackbody.

○ The total energy ($ \in \left( {{\rm{\lambda }},T} \right)$) generated by the energy density inside the black body comes out through the hole dA

○ $E\left( {{\rm{\lambda }},T} \right)$ : energy($ \in \left( {{\rm{\lambda }},T} \right)$) emitted per unit area($dA$) per unit time (${\rm{\Delta }}t$)

○ $u\left( {{\rm{\lambda }},T} \right)$ : Energy density in blackbody

E (λ, T) = \frac{\in (λ, T)}{d A ∙ Δ t}

\in (λ, T) = \int_{0}^{c Δ t} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{2 π} u (λ, T) ∙ r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ ∙ d A ∙ \frac{\cos θ}{4 π r^{2}}

= \int_{0}^{c Δ t} r^{2} d r \int_{0}^{π / 2} \sin θ \cos θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ u (λ, T) ∙ d A ∙ \frac{1}{4 π r^{2}} = \int_{0}^{c Δ t} d r \int_{0}^{π / 2} \sin θ \cos θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ u (λ, T) ∙ d A ∙ \frac{1}{4 π}

= c Δ t ∙ \frac{1}{2} ∙ 2 π ∙ u (λ, T) ∙ d A ∙ \frac{1}{4 π} = \frac{c Δ t}{4} ∙ d A ∙ u (λ, T)

E (λ, T) = \frac{c}{4} ∙ u (λ, T)

■ Energy Density

u (λ, T) = u (ν, T) |\frac{d λ}{d ν}| = u (ν, T) \frac{c}{ν^{2}}

\frac{d λ}{d ν} = - \frac{c}{ν^{2}} (∵ λ ν = c, λ = \frac{c}{ν})

■ Classical Derivation of Rayleigh-Jeans Law

○ Boundary Condition

♦ Periodic boundary condition

f (x, y, 0) = f (x, y, L)

f (x, 0, z) = f (x, L, z)

f (0, y, z) = f (L, y, z)

○ The function that satisfies the periodic boundary condition is typically an oscillator.

♦ One dimension

\frac{1}{\sqrt{L}} e^{i k x}, e^{i k L} = 1, k = \frac{2 π}{L} n, n = i n t e g e r

♦ Three dimension

\frac{1}{L^{3 / 2}} e^{i (k_{1} x + k_{2} y + k_{3} z)}, k_{1} = \frac{2 π}{L} n_{1}, k_{2} = \frac{2 π}{L} n_{2}, k_{3} = \frac{2 π}{L} n_{3},

k_{i} L = 2 π n_{i} (i = 1,2, 3)

○ Equipartition Theorem(Robert Eisberg, Robert Resnick)

♦ The prediction comes from classical kinetic theory, and it is called the law of equipartition of energy. This law states that for a system of gas molecules in thermal equilibrium at temperature T, the average kinetic energy of a molecule per degree of freedom

\frac{1}{2} k T, k = B o l t z m a n n c o n s t a n t

♦ However, each oscillating standing wave has a total energy which is twice its average kinetic energy. This is a common property of physical systems which have a single degree of freedom that execute simple harmonic oscillations in time; familiar cases are a pendulum or a coil spring.

♦ Rayleigh assumed the classical law of equipartition energy. He said, “one dimensional waves always have 2 degrees of freedom, one for potential energy (x) and the other for kinetic energy (v). In case of electromagnetic wave, these two degree of freedom are derived from electric field and magnetic field.” ( http://www.pa.uky.edu/~kwng/phy361/class/class10.pdf )

\bar{ℇ} = a v e r a g e t o t a l E n e r g y p e r u n i t d e g r e e o f f r e e d o m = 2 ∙ \frac{1}{2} k T = k T

○ degree of freedom

♦ Since k is a function of n and n is an integer, it is easy to count n. Therefore, we calculate the degrees of freedom using n.

4 π n^{2} d n = 4 π {(\frac{k L}{2 π})}^{2} \frac{L}{2 π} d k = 4 π {(\frac{L}{2 π})}^{3} k^{2} d k ∵ k L = 2 π n, n = \frac{k L}{2 π}

= 4 π {(\frac{L}{2 π})}^{3} {(\frac{2 π}{c} υ)}^{2} \frac{2 π}{c} d υ ∵ ω = c k = 2 π υ, k = \frac{2 π}{c} υ = 4 π L^{3} \frac{υ^{2}}{c^{3}} d υ

♦ This completes the calculation except that we must multiply these results by a factor of 2. because, for each of the allowed frequencies we have enumerated, there are actually two independent waves corresponding to the two possible states of polarization of electromagnetic radiation.

∴ u (υ, T) d υ = \bar{ℇ} ∙ 2 ∙ \frac{d e g r e e o f f e e d o m}{V} d υ = k T ∙ 2 ∙ \frac{d e g r e e o f f e e d o m}{V} d υ = k T ∙ 8 π \frac{υ^{2}}{c^{3}} d υ ∵ V = L^{3}

2020년 9월 9일 수요일

인물로 보는 고대 수학(2) - 제논의 역설과 무한

고대 그리스 철학자 제논이 제시한 여러 문제들 중 하나를 소개합니다. 이 문제들은 최초로 무한과 관련된 내용이며 “제논의 역설＂이라고 합니다. 제논의 역설은 무한에 대한 개념이 정립되는 19세기에 와서야 비로서 논리적으로 반박 이가능하게 되는데, 그 중 한 문제를 소개하면

< 아킬레스와 거북이 경주 문제 >

아킬레스가 거북이보다 10배 빨리 달릴 수 있다고 가정하고, 거북이를 아킬레스보다 100m 앞에서 출발시킨다. 아킬레스가 100m를 달려가면 거북이는 10m를 가고, 따라잡기 위해 아킬레스가 10m를 가면 그동안 거북이는 1m를 나아간다. 아킬레스가 거북이를 따라잡기 위해 달린다 하여도 그 시간동안 거북이는 움직이므로 아킬레스는 영원히 거북이를 따라잡을 수 없다.

< 무한대와 무한소 >

그렇다면, “무한”을 어떻게 이해할 것인가?

무한은 무한대와 무한소 두 종류가 있습니다.

무한대는 “무한히 많다” 혹은 “무한히 크다＂라는 의미인데, “셀 수 없을 만큼 많다“ 혹은 “크기를 젤 수 없을 만큼 크다＂라고 이해하면 상대적으로 이해가 쉽습니다.

(추상적 개념임을 잊지 말자!)

무한소는 “매우 작다”는 의미인데 "셀 수 없을 만큼 작다"는 말이 되지 않기 때문에 크기만 의미한다고 생각하면 된다. 즉, “크기가 0에 가까울 만큼 작지만 “0”은 아니다.”라고 이해하면 상대적으로 쉽습니다.

예를 보면 이해가 쉬운데, 0~1인 선을 생각해 보자구요!

크기가 1인 선을 자르는데, 무한히 쪼개면 크기가 어떻게 될까요?

< 무한과 극한 >

극한은 고등학교에서 배우는 내용으로 이해가 되지 않아도, 이런게 있구나 하는 정도로 알고 있어도 됩니다.

< 아킬레스와 거북이 경주 >

이 문제를 처음보면, 뭔가 틀린거 같기는 한데 뭐라고 꼭 짚어서 이것 때문에 틀렸다라고 말하기가 어렵다는 것을 느낍니다. 인터넷에 많은 블로그에서는 무한등비급수로 이를 해석하는데 사실 이것도 내용이 고등학생이나 되어야 이해가 될 수 있는 내용입니다. 그럼에도 불구하고 가능한 나름대로(?) 쉽게 풀어보도록 하겠습니다.

언뜻보면, “영원히”이라는 단어 때문에 시간이 영원한 것처럼 보입니다. 그런데, 실제로는 시간이 영원한 것이 아닙니다. 시간을 계산보면 금방 알 수 있습니다. 그럼 이제 시간을 한번 계산해 볼까요?

시간을 계산해 볼려면, 아킬레스가 얼마나 빨리 달리는지를 알면 됩니다.

아킬레스의 달리기 실력을 알면, 아킬레스가 거북이보다 10배 빠르기 때문에 거북이의 달리기 실력도 알 수 있습니다.

아킬레스가 100m를 10초에 달린다고 하면, 거북이는 10초에 10m를 달릴 수 있다는 것을 의미합니다.

그럼, 문제에서 처럼 아킬레스가 거북이가 있었던 자리까지 달리고 그 동안 거북이는 또 더 나아가고를 반복을 해보세요.

위 그림에 왼쪽에 시간을 표시하고 무한을 ∞로 표시했습니다. 아킬레스가 거북이에 가까이 갈수록 시간이 점점 줄어드는 것을 알 수 있습니다.

시간을 나열해 보면, 10초, 1초, 1/10초, 1/100초, …, 1/10000000000000000초,… 1/n 초,… 됩니다. 이와 같이 아킬레스가 거북이에게 다가가고 그 동안 거북이가 더 나아가는 것을 무한히 반복하면, n이 무한대가 된다고 합니다. 그럼, 어떻게 될까요? 점점 더 “0”초에 가깝게 된다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 어느 순간 시간이 정지한 것과 같은 상황이 된다는 것을 의미합니다. 시간이 정지했는데 아킬레스가 거북이를 이길 수 있을까요?

다시 말하면, 아킬레스가 거북이에 가까워질수록 시간이 흐르지 않게 된다는 의미하고 이것은 아킬레스가 거북이를 만나는 순간에 걸리는 시간은 "0"에 매우 가깝게 됩니다.

따라서, “아킬레스와 거북이 경주“ 문제는 아킬레스가 거북이와 만나는데 걸리는데 시간이 얼마나 걸리는지를 묻는 문제와 다르지 않습니다.

11.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111… 초면 아킬레스가 거북에 가장 가까워지고 0.01초가 더 지나면 아킬레스가 거북이를 이기게 됩니다.

즉, 제논의 문제는 아킬레스가 거북이에 가까이 가는 행동을 무한히 반복해서 언제 아킬레스가 거북이를 만나는지에 대한 문제이지 아킬레스가 거북이를 이기는지 여부의 문제가 아닙니다.

<수열과 급수, 그리고 무한 (어려우면 보지 않아도 돼요)>

이 부분은 어려우므로 보지않아도 됩니다. 고등학교에서 배우는 내용이므로 이렇게 있구나 하는 정도로만 보고 지나쳐도 됩니다.

2020년 8월 16일 일요일

인물로 보는 고대 수학(1) - 피타고라스와 무리수

기원전 570년 ~ 기원전 495년에 살았던 인물로 피타고라스에 대한 기록들은 그의 사후에 작정되었던 것으로 신뢰할 수 있는 정보가 드물다고 합니다. 피타고라스는 그를 따르는 사람들이 많아 학파를 이루었는데 그 학파를 “피타고라스 학파”라고 합니다. 피타고라스 학파는 종교집단과 같아서 신비주의 집단이었다고 합니다. 학파 사람들끼리 알게 된 내용을 함부로 외부에 알리지 못하게 하였기 때문에 피타고라스의 업적이 피타고라스가 한 것인지 그의 제자가 한 것인지 명확히 알 수가 없다고 합니다. 피타고라스 학파의 업적 중 우리에게 가장 많이 알려져 있는 것은 피타고라스의 정리입니다.

<피타고라스 정리>

피타고라스 정리는 직각삼각형 세변의 길이의 관계를 나타내는 수식입니다. 피타고라스는 증명을 길가에 깔려있는 타일을 보고 했다고 합니다. (피타고라스가 만들지 않았다는 주장도 있습니다.)

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 1) 유클리드의 증명, 2) 삼각형의 닮은꼴을 이용한 증명, 3) 대수적 증명, 4) 가필드의 증명 외에 매우 많습니다. 이와 같이 여러 증명 중 가장 쉬운 증명을 하나 소개하겠습니다(삼각형의 닯음꼴을 이용하는 방법을 소개).

<참조>

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

http://weteacher.net/math/theorem/Pythagoras.htm

<피타고라스 음계>

피타고라스 정리 외에도 음악에도 관심이 많았나 봅니다. 현의 길이가 정수비를 가질 때 소리가 아름답다는 것을 발견하고 “피타고라스 음계”라는 것을 만들었다고 합니다. 음악적인 의미는 잘 모르겠지만 수학적인 의미에서 중요한 것은 정수비입니다. 이걸 조금 다르게 표현하면 정수로 이루어진 분수가 됩니다. 만물의 근원을 수로 생각하는 피타고라스 학파에게는 아름다운 조화를 만들어내는 정수비는 매우 중요한 것입니다.

<참조>

https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=forfriend5&logNo=220465941351&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.com%2F

<히파수스의 무리수 발견>

무리수란 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수입니다. 느낌이 오시나요? “피타고라스 음계”에서 이야기 한 것처럼 정수비(=분수)가 아닌 수가 무리수입니다. 정수비(=분수)로 나타내는 수는 유리수이고 영어로 rational number입니다. 무리수는 영어로 irrational number입니다. ‘ir”이 더 있는데 유리수가 아닌 수란 의미죠. 이 무리수를 발견한 사람이 피타고라스 학파의 일원인 히파수스라는 사람입니다. 히파수스는 피타고라스 정리에 1을 대입한 후, 제곱해서 2가되는 수를 찾아 봤습니다. 그런데, 정수비로는 이런 수가 존재하지 않는 다는 것을 알게 됩니다(${1^2} + {1^2} = 2 = {x^2},\;x = ?$). 종교집단인 피타고라스 학파에서는 정수비가 아닌 수가 존재한다는 것을 받아 들일 수가 없었나 봅니다. 결국, 무리수의 존재를 이야기한 히파수스는 동료들에게 쫓기다 절벽에 떨어져 죽었다고 합니다. 피타고라스 학파의 일원인 히파수스가 자기의 스승이 만든 피타고라스 정리를 이용하여 무리수를 발견하고 자신의 동료들에게 죽임을 당했다고 하니 아이러니한 거 같습니다.

독학 아재의 물리 이야기

2020년 11월 24일 화요일

기초적인 수학 개념(2) - 등식의 성질

기초적인 수학 개념(1) - 나누기와 분수의 나눗셈